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{{nr||{{t|L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.|65}}|139}} |
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{{SA|<math>m_l(c)</math> est donc supérieure à <math>\varepsilon</math> quand <math>\mathrm{K}</math> varie de <math>{\alpha - h}</math> à <math>\alpha</math>, et <math>{m_{s,e}(\mathrm{E}) - m_{s,i}(\mathrm{E})}</math> est au moins égale à <math>{\varepsilon h}</math>. <math>\mathrm{E}</math> et par suite <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> n’est donc mesurable que si <math>\varphi</math> est mesurable.}} |
{{SA|<math>m_l(c)</math> est donc supérieure à <math>\varepsilon</math> quand <math>\mathrm{K}</math> varie de <math>{\alpha - h}</math> à <math>\alpha</math>, et <math>{m_{s,e}(\mathrm{E}) - m_{s,i}(\mathrm{E})}</math> est au moins égale à <math>{\varepsilon h}</math>. <math>\mathrm{E}</math> et par suite <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> n’est donc mesurable que si <math>\varphi</math> est mesurable.}} |
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Supposons que <math>\varphi</math> bornée soit mesurable et partageons l’intervalle de variation de <math>\varphi</math> à l’aide de nombres <math>l_i</math>. Soit <math>\mathrm{E}</math> la partie de <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> comprise entre <math>{y = l_{i-1}}</math> et <math>{y = l_i}</math>, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles <math>a</math> les points de <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq l_i)}</math> et ceux de <math>{\mathrm{C}[\mathrm{E}(\varphi \geqq l_i)]}</math> dans des intervalles <math>b</math>, soient <math>c</math> les intervalles faisant partie des <math>a</math> et des <math>b</math>. Considérons l’ensemble <math>\mathcal{A}</math> des points dont les abscisses sont points de <math>a</math> et dont les ordonnées sont comprises entre <math>l_{i-1}</math> et <math>l_i</math> ; soit <math>\mathcal{C}</math> l’ensemble analogue relatif à <math>c</math>. L’ensemble <math>{\mathcal{A} - \mathcal{C}}</math> étant contenu dans <math>\mathrm{E}</math>, on a |
Supposons que <math>\varphi</math> bornée soit mesurable et partageons l’intervalle de variation de <math>\varphi</math> à l’aide de nombres <math>l_i</math>. Soit <math>\mathrm{E}</math> la partie de <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> comprise entre <math>{y = l_{i-1}}</math> et <math>{y = l_i}</math>, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles <math>a</math> les points de <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq l_i)}</math> et ceux de <math>{\mathrm{C}[\mathrm{E}(\varphi \geqq l_i)]}</math> dans des intervalles <math>b</math>, soient <math>c</math> les intervalles faisant partie des <math>a</math> et des <math>b</math>. Considérons l’ensemble <math>\mathcal{A}</math> des points dont les abscisses sont points de <math>a</math> et dont les ordonnées sont comprises entre <math>l_{i-1}</math> et <math>l_i</math> ; soit <math>\mathcal{C}</math> l’ensemble analogue relatif {{nobr|à <math>c</math>.}} L’ensemble <math>{\mathcal{A} - \mathcal{C}}</math> étant contenu dans <math>\mathrm{E}</math>, on a |
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{{c|<math>m_{s, |
{{c|<math>m_{s,i}(\mathrm{E}) \geqq m_s(\mathcal{A}) - m_s(\mathcal{C}) = (l_i - l_{i-1}) [m_l(a) - m_l(c)]</math>,|m=1em}} |
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