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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
et nulle quand 
est négative ; c’est de cette fonction 
que nous allons nous occuper.
Quand on fait décroître 
, l’ensemble linéaire 
ne perd aucun point, de là on déduit que les mesures linéaires inférieure et supérieure ![{\displaystyle {m_{l,i}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a0bdb475d37b4f0210f916f6ba046090431ae3)
et ![{\displaystyle {m_{l,e}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dc290e8dd45caad33007e4d21ca34a87d8e634)
sont des fonctions non croissantes. De plus, est l’ensemble des points qui appartiennent à tous les 
; de là on déduit que et sont des fonctions de continues à gauche. Ceci posé, supposons que l’on ait
![{\displaystyle {m_{l,e}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}>{m_{l,i}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96831fbd877ff416f2b90bae2f32fa19ca531ec)
,
alors il en sera encore de même dans tout un certain intervalle 
. Considérons la partie 
de 
comprise entre 
et 
. Enfermons les points de dans des carrés 
, les points de 
dans des carrés 
; on peut supposer les et de côtés parallèles à 
et 
. Ils ont en commun des rectangles 
dont la somme des aires est au moins 
et en diffère aussi peu que l’on veut. La section des carrés par la droite 
est composée d’intervalles 
qui enferment ![{\displaystyle {\mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5f5c3ee382fc71d2a1d229c583102cf56ada2b)
, celle des carrés est composée d’intervalles 
qui enferment ![{\displaystyle {\mathrm {C} \left\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d9b7bdfd6aed13251fde5c6c44b37617472090)
, celle des rectangles est formée des parties 
communes aux et ; on a donc
![{\displaystyle {m_{l}(c)\geqq m_{l,e}\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\rbrace }-{m_{l,i}\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ab9190b700ac60e51848b792d94a8bf78654dc)
;
est donc supérieure à 
quand 
varie de 
à , et est au moins égale à 
. et par suite n’est donc mesurable que si 
est mesurable.
Supposons que bornée soit mesurable et partageons l’intervalle de variation de à l’aide de nombres 
. Soit la partie de comprise entre 
et 
, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles les points de 
et ceux de ![{\displaystyle {\mathrm {C} [\mathrm {E} (\varphi \geqq l_{i})]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ebbeade48f2ddcac9e10ec7a43748a99d8477f)
dans des intervalles , soient 
les intervalles faisant partie des et des . Considérons l’ensemble 
des points dont les abscisses sont points de et dont les ordonnées sont comprises entre 
et ; soit 
l’ensemble analogue relatif à . L’ensemble 
étant contenu dans , on a
![{\displaystyle m_{s,i}(\mathrm {E} )\geqq m_{s}({\mathcal {A}})-m_{s}({\mathcal {C}})=(l_{i}-l_{i-1})[m_{l}(a)-m_{l}(c)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0634af0fd0e145bea91a6a6bd90fc751918d888)
,
