Cas du problème réduit.
265.On peut reprendre la question que nous avons traitée au no 260, en prenant des problèmes se rattachant au problème des trois corps, mais un peu simplifiés.
J’envisagerai d’abord ce que j’appellerai le problème restreint, c’est-à-dire le problème du no 9 où deux masses décrivent des circonférences concentriques pendant que la troisième masse infiniment petite se meut dans le plan de ces deux circonférences.
Le nombre des degrés de liberté est alors deux ; il y a un couple de la forme (5 bis), (5 ter), une équation (10 bis) et une équation (10 ter) (cf. no 259).
Nous pourrons donc avoir au plus un invariant de la première sorte, déjà connu, deux invariants de la deuxième sorte, dont un connu, deux invariants de la troisième sorte, dont un connu, un invariant de la quatrième sorte, déjà connu.
Nous pourrons également considérer le problème plan, c’est-à-dire le problème des trois corps se mouvant dans un même plan.
Enfin, nous pouvons supposer que l’on ait réduit le nombre des degrés de liberté par le procédé du no 16 ; soit dans le cas du problème général ; on arrivera alors à ce que j’appellerai le problème général réduit ; soit dans le cas du problème plan ; on arrivera alors à ce que j’appellerai le problème plan réduit.
La discussion à laquelle on serait conduit dans ces différents cas peut se résumer dans le Tableau suivant :
