Ces invariants correspondront aux intégrales des équations (1) et (2) qui sont quadratiques par rapport aux À l’invariant (7), correspondra, en effet, l’intégrale
qui devra être quadratique par rapport aux et algébrique par rapport aux Remplaçons dans cette équation les par les valeurs qui correspondent à une solution périodique non singulière ; il viendra
| (8) |
où est un polynôme quadratique homogène par rapport aux dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
Toutes les équations de la forme (8) doivent pouvoir se déduire des équations (5) et cela de la manière suivante :
Dans le cas d’un problème de Dynamique et, en particulier, dans le cas du problème des trois corps, nous avons vu que les exposants caractéristiques sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous pouvons donc grouper les équations (5) par couples ; soient
| (5 bis) |
| (5 ter) |
En multipliant l’une par l’autre les équations (5 bis) et (5 ter), on obtiendra une équation de la forme (8), et toutes les équations de la forme (8) devront être des combinaisons linéaires des équations ainsi obtenues.
Si donc on suppose que les équations (1) ont la forme canonique des équations de la Dynamique et qu’elles contiennent couples de variables conjuguées, nous aurons couples d’équations analogues à (5 bis) et (5 ter) et, par conséquent, pour chaque solution périodique, il y aura équations de la forme (8) linéairement indépendantes.
Parmi ces équations et parmi leurs combinaisons linéaires, choisissons-en une ; soit opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques ; nous aurons alors un certain polynôme homogène et du deuxième degré par rapport
