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FORMATION DES INVARIANTS.

et leurs équations aux variations

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\,\xi _{k}.$

Cherchons d’abord les invariants intégraux du premier ordre de la forme

(3)

$\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n}\,dx_{n}\right),$

où l’expression sous le signe $\textstyle \int$ est linéaire par rapport aux différentielles $dx,$ et où les $\mathrm {B}$ sont fonctions algébriques des $x.$

Ces invariants correspondent aux intégrales linéaires des équations (2).

Quelles sont donc les conditions pour que les équations (2) admettent des intégrales linéaires par rapport aux $\xi$ et algébriques par rapport aux $x$ ?

Supposons que l’on donne aux $x$ des valeurs qui correspondent à une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ Alors les coefficients des équations (2) seront des fonctions connues de $t$ qui seront périodiques et de période $\mathrm {T}$ et l’on en tirera la solution générale des équations (2) sous la forme suivante

(4)

$\xi _{i}={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\psi _{i,k}\,;$

les $\psi _{i,k}$ étant des fonctions périodiques de $t,$ les $\alpha _{k}$ seront les exposants caractéristiques et les $\mathrm {A} _{k}$ des constantes d’intégration.

Nous pourrons ensuite résoudre les équations linéaires (4) par rapport aux inconnues $\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}$ et nous trouverons

(5)

$\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}={\textstyle \sum }_{i}\xi _{i}\theta _{i,k},$

les $\theta _{1,k}$ étant des fonctions périodiques de $t.$

Il y aura donc, entre les $\xi ,$ $n$ relations de la forme (5) et il n’y en aura d’ailleurs pas d’autres.

Si les équations (1) et (2) admettent $q$ intégrales distinctes linéaires par rapport aux $\xi$ et algébriques par rapport aux $x,$ il pourra se faire que quelques-unes de ces $q$ intégrales cessent d’être distinctes quand on y remplace les $x$ par les valeurs qui correspondent à une des solutions périodiques des équations (1).