39
GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.
16.Passons au cas général où le nombre des degrés de liberté
doit être réduit à 4. Les équations s’écrivent alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\mathrm {G} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dg}},&{\frac {d\Theta \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\theta }},\\{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\mathrm {G} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dg'}},&{\frac {d\Theta '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\theta '}},\\{\frac {dl\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dg\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {G} }},&{\frac {d\theta \,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Theta }},\\{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {dg'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {G} '}},&{\frac {d\theta '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Theta '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6187b06359446982566dfbe7ad86e75ae5ae873)
On a d’ailleurs les trois intégrales des aires qui, si l’on prend
comme premier plan de coordonnées le plan du maximum des
aires, s’écrivent
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\beta \Theta +\beta '\Theta '&=\!\!\!\!\mathrm {C} ,\qquad \theta =\theta '\\\beta ^{2}(\mathrm {G} ^{2}-\Theta ^{2})&=\!\!\!\!\beta '^{2}(\mathrm {G} '^{2}-\Theta '^{2})\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5df57ce5a20df1aed1187904d6577c82e706dc)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\theta }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\theta '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61bf40a04f051a1cc7890afbe183de0d07dc508)
ce qui montre que
ne dépend de
et de
que par leur
différence
mais, comme cette différence est nulle, en vertu des
intégrales des aires,
peut être regardée comme ne dépendant
plus ni de
ni de ![{\displaystyle \theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6201dd51d4e7f2f87938a83c7bbb78851dd4440d)
On trouve également
![{\displaystyle \theta =\theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84901258ed02bffc586d0c7fc46df663802a9d41)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta '}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6a1824c2436d8a586c4e00081c6a9906ee32c8)
d’où
(2)
|
|
|
Posons maintenant
(3)
|
|
|
et
(4)
|
|
|