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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

16.Passons au cas général où le nombre des degrés de liberté doit être réduit à 4. Les équations s’écrivent alors

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\mathrm {G} \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dg}},&{\frac {d\Theta \,}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\theta }},\\{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\mathrm {G} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dg'}},&{\frac {d\Theta '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\theta '}},\\{\frac {dl\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dg\,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {G} }},&{\frac {d\theta \,}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Theta }},\\{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {dg'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {G} '}},&{\frac {d\theta '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Theta '}}\cdot \end{aligned}}$

On a d’ailleurs les trois intégrales des aires qui, si l’on prend comme premier plan de coordonnées le plan du maximum des aires, s’écrivent

${\begin{array}{rl}\beta \Theta +\beta '\Theta '&=\!\!\!\!\mathrm {C} ,\qquad \theta =\theta '\\\beta ^{2}(\mathrm {G} ^{2}-\Theta ^{2})&=\!\!\!\!\beta '^{2}(\mathrm {G} '^{2}-\Theta '^{2})\\\end{array}}$

On a d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {F} }{d\theta }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\theta '}}=0,$

ce qui montre que $\mathrm {F}$ ne dépend de $\theta$ et de $\theta '$ que par leur différence $\theta -\theta '\,;$ mais, comme cette différence est nulle, en vertu des intégrales des aires, $\mathrm {F}$ peut être regardée comme ne dépendant plus ni de $\theta$ ni de $\theta '.$

On trouve également

$\theta =\theta ',$

d’où

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta '}{dt}},$

d’où

(2)

${\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Theta }}={\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Theta '}}\,\cdot$

Posons maintenant

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}\mathrm {G} =\Gamma ,\qquad \mathrm {G} '=\Gamma ',\\\qquad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \\\beta \Theta +\beta '\Theta '=\mathrm {C} ,\qquad \beta ^{2}\Gamma ^{2}-\beta '^{2}\Gamma '^{2}=\mathrm {C} (\beta \Theta -\beta '\Theta ')\\\end{array}}\right.$

et

(4)

${\begin{aligned}\beta \Theta &={\frac {\mathrm {C} }{2}}+{\frac {\beta ^{2}\Gamma ^{2}}{2\mathrm {C} }}-{\frac {\beta '^{2}\Gamma '^{2}}{2\mathrm {C} }},&\beta '\Theta '&={\frac {\mathrm {C} }{2}}+{\frac {\beta '^{2}\Gamma '^{2}}{2\mathrm {C} }}-{\frac {\beta ^{2}\Gamma ^{2}}{2\mathrm {C} }},\end{aligned}}$