Sur cette figure, la trajectoire fermée qui représente une solution périodique coupe le demi-plan en cinq points qui sont les conséquents les uns des autres. J’appellerai, pour abréger, un pareil système système de points périodiques ou système périodique.
À chaque solution périodique instable, correspondent deux systèmes de solutions asymptotiques ; ces solutions sont représentées par des trajectoires (au sens du no 312) et l’ensemble de ces trajectoires forme ce que nous avons appelé des surfaces asymptotiques. L’intersection d’une surface asymptotique avec le demi-plan s’appellera une courbe asymptotique. Ainsi que nous l’avons vu sur la fig. 7, page 194, à chacun des points d’un système périodique instable aboutissent quatre branches de courbes asymptotiques ( ) qui sont deux à deux dans le prolongement l’une de l’autre.
Il y a une infinité de courbes asymptotiques, car il y a une infinité de solutions périodiques instables et, par conséquent, de systèmes de points périodiques instables, même en nous bornant aux solutions du premier genre, définies aux nos 42 et 44.
Nous distinguerons les courbes asymptotiques de première et de deuxième famille, suivant que l’exposant caractéristique correspondant sera positif ou négatif ; celles de la première famille sont caractérisées par la propriété suivante ; le ième antécédent d’un quelconque de leurs points est très voisin d’un point périodique si est très grand ; pour les courbes de la deuxième famille, ce serait le ième conséquent et non le ième antécédent qui serait très voisin d’un point périodique.
Sur la figure de la page 194 les courbes et sont de la première famille et les courbes et de la seconde.
Ces courbes asymptotiques peuvent être regardées comme des courbes invariantes au sens du Chapitre XXVII, à la condition de faire l’une des deux conventions suivantes ; revenons à la figure de la page 194, nous voyons la courbe qui a pour conséquentes successives Alors si nous convenons d’envisager les cinq courbes cet ensemble constituera évidemment une courbe invariante. Ou bien encore si nous convenons de n’envisager les conséquents que de 5 en 5, et d’appeler ième conséquent celui
