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CHAPITRE III.

Calcul direct des séries.

44.Nous venons de démontrer que les équations (1) du n^o 43 admettent des solutions périodiques, et que ces solutions peuvent être développées suivant les puissances de $\mu .$

Cherchons maintenant à former effectivement ces développements, dont nous avons ainsi démontré d’avance l’existence et la convergence.

Je commence par observer qu’on peut, dans le calcul de ces développements, introduire une importante modification. Nous avons introduit plus haut trois nombres :

$n_{1},\quad n_{2},\quad n_{3},$

tels que

$n_{1}\mathrm {T} ,\quad n_{2}\mathrm {T} ,\quad n_{3}\mathrm {T}$

soient multiples de $2\pi ,$ et par conséquent commensurables entre eux. Ces trois nombres caractérisent la solution périodique envisagée.

Je dis que l’on peut toujours, quand on étudie une solution périodique particulière, supposer que

$n_{2}=n_{3}=0.$

Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi. Nous changerons de variables en posant

${\begin{aligned}y_{1}&=\alpha _{1}y'_{1}+\alpha _{2}y'_{2}+\alpha _{3}y'_{3},&x'_{1}&=\alpha _{1}x_{1}+\beta _{1}x_{2}+\gamma _{1}x_{3},\\y_{2}&=\beta _{1}y'_{1}+\beta _{2}y'_{2}+\beta _{3}y'_{3},&x'_{2}&=\alpha _{2}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\gamma _{2}x_{3},\\y_{3}&=\gamma _{1}y'_{1}+\gamma _{2}y'_{2}+\gamma _{3}y'_{3},&x'_{3}&=\alpha _{3}x_{1}+\beta _{3}x_{2}+\gamma _{3}x_{3}.\end{aligned}}$

Les équations (avec les nouvelles variables $x'$ et $y'$) conserveront la forme canonique.

Si, de plus, les $\alpha ,$ les $\beta ,$ les $\gamma$ sont entiers et que leur déterminant soit égal à 1, la fonction $\mathrm {F} ,$ périodique par rapport aux $y,$ sera également périodique par rapport aux $y'.$

Si nous appelons $n'_{1},$ $n'_{2},$ $n'_{3}$ ce que deviennent les trois nombres caractéristiques $n_{1},$ $n_{2}$ et $n_{3}$ après le changement de variables,