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CHAPITRE III.
Calcul direct des séries.
44.Nous venons de démontrer que les équations (1) du no 43
admettent des solutions périodiques, et que ces solutions peuvent
être développées suivant les puissances de
Cherchons maintenant à former effectivement ces développements,
dont nous avons ainsi démontré d’avance l’existence et la
convergence.
Je commence par observer qu’on peut, dans le calcul de ces
développements, introduire une importante modification. Nous
avons introduit plus haut trois nombres :
![{\displaystyle n_{1},\quad n_{2},\quad n_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f9f533dd15a6d74e5e67652cfd661a0d1bd61f)
tels que
![{\displaystyle n_{1}\mathrm {T} ,\quad n_{2}\mathrm {T} ,\quad n_{3}\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67dad6aacd983d2b8981f8173cb7dd9d1ec347d)
soient multiples de
et par conséquent commensurables entre
eux. Ces trois nombres caractérisent la solution périodique envisagée.
Je dis que l’on peut toujours, quand on étudie une solution
périodique particulière, supposer que
![{\displaystyle n_{2}=n_{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81427a2d0dfe808d5404c885ad80d110dc5b9f49)
Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi. Nous changerons
de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\alpha _{1}y'_{1}+\alpha _{2}y'_{2}+\alpha _{3}y'_{3},&x'_{1}&=\alpha _{1}x_{1}+\beta _{1}x_{2}+\gamma _{1}x_{3},\\y_{2}&=\beta _{1}y'_{1}+\beta _{2}y'_{2}+\beta _{3}y'_{3},&x'_{2}&=\alpha _{2}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\gamma _{2}x_{3},\\y_{3}&=\gamma _{1}y'_{1}+\gamma _{2}y'_{2}+\gamma _{3}y'_{3},&x'_{3}&=\alpha _{3}x_{1}+\beta _{3}x_{2}+\gamma _{3}x_{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35768d678d6dfab3ed2941938ff7f462c85e5890)
Les équations (avec les nouvelles variables
et
) conserveront
la forme canonique.
Si, de plus, les
les
les
sont entiers et que leur
déterminant soit égal à 1, la fonction
périodique par rapport aux
sera également périodique par rapport aux
Si nous appelons
ce que deviennent les trois nombres
caractéristiques
et
après le changement de variables,