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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

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CHAPITRE XXVII.

THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

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305.Nous pouvons encore tirer de la théorie des invariants intégraux d’autres conclusions qui nous seront utiles dans la suite, en la présentant sous une forme un peu différente.

Commençons par examiner un exemple simple. Soit un point dont les coordonnées dans l’espace soient $x,$ $y$ et $z$ et dont le mouvement soit défini par les équations

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mathrm {X} ,&{\frac {dy}{dt}}&=\mathrm {Y} ,&{\frac {dz}{dt}}&=\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

$\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ sont des fonctions données et uniformes de $x,\,y,\,z\,;$ supposons d’abord que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ s’annulent tout le long de l’axe des $z,$ de telle façon que

$x=y=0$

soit une solution des équations (1).

Posons ensuite

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \omega ,&y&=\rho \sin \omega ,\end{aligned}}$

les équations (1) deviendront

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho }{dt}}&=\mathrm {R} ,&{\frac {d\omega }{dt}}&=\Omega ,&{\frac {dz}{dt}}&=\mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

où $\mathrm {R} ,$ $\Omega$ et $\mathrm {Z}$ sont des fonctions de $\rho ,$ $\omega$ et $z,$ périodiques de période $2\pi$ par rapport à $\omega .$

Nous conviendrons de ne donner à $\rho$ que des valeurs positives, et nous pourrons le faire sans difficulté puisque $x=y=0$ est une solution.

Je suppose maintenant de plus que $\Omega$ ne puisse jamais s’annuler et, par exemple, reste toujours positif ; alors $\omega$ sera toujours croissant avec $t.$