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CHAPITRE XXVII.
Application aux équations de la Dynamique.
312.Soit
une fonction des quatre variables
formons les équations canoniques
(1)
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Je supposerai, comme je le fais d’ordinaire :
1o Que
est une fonction périodique de
et
2o Que
dépend d’un paramètre
et est développable suivant
les puissances de ce paramètre sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {F} _{2}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0b9d944f2d7410c560f64ca3099d0130e2c6d9)
3o Que
est fonction seulement de
et de
Cela posé, nous aurons l’intégrale
(2)
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étant une constante.
Cela posé, donnons à
une valeur déterminée une fois pour
toutes et soit
un point mobile dont les coordonnées rectangulaires
sont
![{\displaystyle [1+\varphi (x_{1})\cos y_{1}]\cos y_{2},\quad [1+\varphi (x_{1})\cos y_{1}]\sin y_{2},\quad \varphi (x_{1})\sin y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4fe3b87b104153c7363d145a146abc2fb593bb)
La fonction
est une fonction de
que je me réserve de
déterminer plus complètement dans la suite.
Supposons d’abord que
qui dépendra de
d’une manière
quelconque, soit développable suivant les puissances croissantes
de
et
Il en résultera que, pour
la fonction
ne dépendra plus de
et, d’autre part, que la fonction
ne changera pas quand on changera
en
et
en
Nous supposerons alors que
est une fonction impaire de
qui croît de 0 à 1 and
croît de 0 à
on pourra prendre
par exemple
![{\displaystyle \varphi (x_{1})={\frac {x_{1}}{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3022a8802e24120fb3f073c1c3f33523b0f47d6)
Si l’on adopte cette hypothèse, le point
sera toujours à l’intérieur
d’un tore de rayon 1, tangent à l’axe des ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)