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CHAPITRE XXXIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

jacobien de $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z}$ par rapport à $z,$ $y_{1},\,y_{2},$ l’invariant deviendra

$\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\Delta }}\cdot$

Soit

${\begin{aligned}\mathrm {R} &={\frac {\sqrt {\overset {}{z}}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},&\mathrm {Z} &={\frac {2\sin y_{1}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {R} \cos y_{2},&\mathrm {Y} &=\mathrm {R} \sin y_{2}.\end{aligned}}$

Posons encore

$\mathrm {D} =\left[(\mathrm {R} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {R} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\,;$

un calcul simple donne

$\Delta ={\frac {\mathrm {RD} }{8{\sqrt {z(z+4)}}}}\cdot$

Notre invariant s’écrira donc

$\int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\mathrm {RD} }}$

Les principes du n^o 305 nous permettent d’en déduire l’invariant suivant au sens du n^o 305

$\int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {n_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z} .$

Ici $n_{2}$ et $\mathrm {R}$ jouent le rôle que jouaient $\Omega$ et $\rho$ dans l’analyse du n^o 305.

La quantité sous le signe $\textstyle \int$ est essentiellement positive, sauf pour $x_{2}$ très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan très éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des $\mathrm {Z} .$

393.Cette circonstance (qu’un point n’aura plus de conséquent s’il est trop éloigné ou s’il est trop près de l’axe des $\mathrm {Z}$) pourrait causer quelque gêne et il peut être utile de tourner cette difficulté par un artifice quelconque.

Nous pourrions d’abord utiliser la remarque du n^o 311 et remplacer notre demi-plan par une aire courbe $\mathrm {S}$ simplement connexe. Voici comment nous choisirions cette aire courbe.

Si $x_{2}$ est très petit, l’excentricité est très petite et les deux planètes circulent en sens contraire ; les principes du n^o 40 sont