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CHAPITRE XXXIII.
jacobien de
par rapport à
l’invariant deviendra
![{\displaystyle \int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\Delta }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d065bd3d6fb7aa14efde49981f3700067418b67)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} &={\frac {\sqrt {\overset {}{z}}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},&\mathrm {Z} &={\frac {2\sin y_{1}}{{\sqrt {z+4}}-2\cos y_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48fe4db83c95791dfbc44a0e5dce684788e48da)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {R} \cos y_{2},&\mathrm {Y} &=\mathrm {R} \sin y_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58321660f077dadd4c63def2f8fad90981a5e5b2)
Posons encore
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left[(\mathrm {R} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {R} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701dccf698d413f29d0b26df8c76d5a0a202c904)
un calcul simple donne
![{\displaystyle \Delta ={\frac {\mathrm {RD} }{8{\sqrt {z(z+4)}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda63478487437f23e1ddb3edbea6189aaf59f8a)
Notre invariant s’écrira donc
![{\displaystyle \int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Y} \,d\mathrm {Z} }{(x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2})\mathrm {RD} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47612655bbb5f87e4940822cf63964262db08768)
Les principes du no 305 nous permettent d’en déduire l’invariant
suivant au sens du no 305
![{\displaystyle \int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {n_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8daae71303f2e9dbeed631fff063759c32f675)
Ici
et
jouent le rôle que jouaient
et
dans
l’analyse du no 305.
La quantité sous le signe
est essentiellement positive, sauf
pour
très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan très
éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des
393.Cette circonstance (qu’un point n’aura plus de conséquent
s’il est trop éloigné ou s’il est trop près de l’axe des
)
pourrait causer quelque gêne et il peut être utile de tourner cette
difficulté par un artifice quelconque.
Nous pourrions d’abord utiliser la remarque du no 311 et remplacer
notre demi-plan par une aire courbe
simplement connexe.
Voici comment nous choisirions cette aire courbe.
Si
est très petit, l’excentricité est très petite et les deux
planètes circulent en sens contraire ; les principes du no 40 sont