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CHAPITRE XXVII.
suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à
la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.
311.Considérons maintenant, au lieu d’un domaine plan
une aire courbe
simplement connexe. Par un point
de cette
aire courbe faisons passer une courbe
satisfaisant aux équations (1)
et prolongeons cette courbe jusqu’à ce qu’elle rencontre
de nouveau
le nouveau point d’intersection
pourra encore
s’appeler le conséquent de
Si nous considérons deux points,
et
très voisins l’un de
l’autre, leurs conséquents seront, en général, très voisins l’un de
l’autre ; il y aurait exception si le point
se trouvait sur le bord
de
ou si la courbe
touchait la surface au point
ou au
point
Sauf ces cas d’exception, les coordonnées de
sont
des fonctions analytiques des coordonnées de
Pour éviter ces cas d’exception, je considérerai un domaine
faisant partie de
et tel que la courbe
issue d’un point
intérieur à
vienne recouper
en un point
qui ne vienne
jamais sur le bord de
tel aussi que la courbe
ne touche
ni
en
ni en
Je supposerai enfin que ce domaine
est simplement
connexe.
Adoptons un système particulier de coordonnées que j’appellerai,
par exemple,
et
et pour lesquelles je supposerai seulement
ce qui suit :
1o Quand
et
seront plus petits que 1, les coordonnées
rectangulaires
et
seront des fonctions analytiques et
uniformes de
et
qui seront périodiques de période
par
rapport à
2o À un point
de l’espace ne pourra correspondre plus
d’un système de valeurs de
tel que
(λ)
|
|
|
3o Quand on fait
ou
et qu’on fait varier
et
de
à
le point
décrit la surface
ou une portion
de cette surface comprenant le domaine
4o Des conditions (1) et (2) il résulte que le déterminant fonctionnel
de
par rapport à
n’est jamais infini ni nul
quand les inégalités (λ) sont remplies.