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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Posons ensuite, comme à la page 96,

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}\,;\end{aligned}}$

les équations conserveront la forme canonique et il viendra

$\mathrm {F} _{0}=\mathrm {H} x_{2}+2\mathrm {B} u\,;$

les autres termes $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,\,$ seront périodiques de période $2\pi ,$ tant par rapport à $iv$ que par rapport à $y_{2}.$

Nos équations ont alors une forme analogue à celle que nous avons étudiée tant de fois et en particulier aux n^os 13, 42, 125, etc., le paramètre $\varepsilon$ jouant le rôle du paramètre $\mu .$ Nous pouvons donc nous proposer de leur appliquer le procédé du n^o 44.

Un obstacle se présente toutefois : le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{2}$ et à $u$ est nul, et c’est justement un des cas d’exception du n^o 44.

Cette circonstance m’obligera à supposer que $\mathrm {F}$ dépend d’un certain paramètre $\lambda$ et nous développerons à la fois suivant les puissances de $\lambda$ et celles de $\varepsilon .$ Du reste nous avons vu au Chapitre XXVIII que dans l’étude des solutions périodiques du second genre, il convient toujours d’introduire un semblable paramètre, puisque ce qui caractérise les solutions du second genre, c’est de se réduire à une solution du premier genre pour $\lambda =0,$ et d’en différer pour $\lambda \gtrless 0.$

Seulement, pour plus de facilité dans l’exposition, au lieu d’un paramètre arbitraire j’en introduirai deux que j’appellerai $\lambda$ et $\mu .$

Nous supposerons donc que les différents coefficients de $\mathrm {F}$ sont développables suivant les puissances de deux paramètres $\lambda$ et $\mu ,$ et que pour $\mu =\lambda =0,$ $\mathrm {H}$ et $2\mathrm {B}$ se réduisent à $-1$ et à $-in,$ $n$ étant un nombre réel commensurable.

Je supposerai que $\lambda$ et $\mu$ peuvent se développer suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ sous la forme

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}\varepsilon +\lambda _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots \,;&\mu &=\mu _{1}\varepsilon +\mu _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

où $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,$ sont des constantes que je laisse provisoirement indéterminées, mais que je me réserve de déterminer dans la suite du calcul.