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CHAPITRE XXV.

Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne soit pas altérée, de prendre

${\begin{aligned}2\mathrm {H} &=\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}';&2\mathrm {K} &=\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}';&2\mathrm {L} &=\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}'.\end{aligned}}$

On voit que $\mathrm {H,\,K,\,L}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2},$ d’où il suit que la forme de la fonction $\mathrm {F}$ ne sera pas non plus altérée.

Mais, si nous supposons $\varepsilon =0,$ nos équations doivent admettre comme solution

${\begin{aligned}x_{1}'&=\alpha e^{+ay_{1}};&y_{1}'&=\beta e^{-ay_{2}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=-{\frac {a}{2}},&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0.\end{aligned}}$

Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=1,&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0,&\mathrm {B} &=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

d’où (puisque nous avons supprimé les accents)

$\mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}.$

C’est ce que nous ferons désormais.

Faisons encore un changement de variables en posant

${\begin{aligned}x_{1}y_{1}&=u,&\log {\frac {y_{1}}{x_{1}}}&=2v.\end{aligned}}$

Comme

$x_{1}\,dy_{1}-u\,dv={\frac {d(x_{1}y_{1})}{2}}$

est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.

Il vient d’ailleurs

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {F}$ est alors développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad x_{2},\quad {\sqrt {\overset {}{u}}},\quad e^{v},\quad e^{-v},\quad e^{iy_{2}},\quad e^{-iy_{2}}.$

On a d’ailleurs

$\mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} u.$

Mettons donc $\mathrm {F}$ sous la forme

$\mathrm {F} (x_{2},u;y_{2},v)$