Nous pouvons donc reprendre la figure (11) et supposer que les courbes en trait mixte représentent, non plus ces trajectoires orthogonales, mais les courbes définies par l’équation (7). Nous n’aurons rien à changer à la démonstration.
Un point cependant n’est plus évident. Dans le triangle rectangle infiniment petit j’avais
Le triangle n’est plus rectangle et, d’autre part, j’ai changé la définition de l’action. L’inégalité subsiste-t-elle encore ?
Il serait aisé de voir que cette inégalité équivaut aux conditions (A) du no 341 et nous avons vu au no 344 qu’elles sont remplies. L’inégalité a donc lieu et notre démonstration subsiste.
En résumé, pour qu’une courbe fermée corresponde à une action moindre que toutes les courbes fermées infiniment voisines, il faut et il suffit que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique instable de la première catégorie.
359.Ce que nous avons dit au sujet de la classification des solutions instables en deux catégories nécessite une remarque.
À un autre point de vue les solutions périodiques instables peuvent se répartir en deux classes. Celles de la première classe sont celles pour lesquelles l’exposant caractéristique est réel, de telle sorte que soit réel et positif, étant la période.
Celles de la seconde classe sont celles pour lesquelles cet exposant a pour partie imaginaire de telle sorte que soit réel et négatif.
Dans ce qui précède, nous nous sommes uniquement attachés aux solutions instables de la première classe. Voyons si celles de la deuxième classe peuvent également se répartir en deux catégories.
Nous pourrons poser
étant réel ; et nous poserons ensuite comme au no 346 :
