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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

Foyers cinétiques.

341.Jusqu’ici quand j’ai dit, telle intégrale est minimum, je me suis servi d’une façon de parler abrégée, mais incorrecte, qui ne pouvait d’ailleurs tromper personne ; je voulais dire, la variation première de cette intégrale est nulle ; cette condition est nécessaire pour qu’il y ait minimum, mais elle n’est pas suffisante.

Nous allons maintenant rechercher quelle est la condition pour que les intégrales $\mathrm {J}$ et $\mathrm {J} ',$ que nous avons étudiées dans les numéros précédents, et dont les variations premières sont nulles, soient effectivement minimum. Cette recherche se rattache à la difficile question des variations secondes et à la belle théorie des foyers cinétiques.

Rappelons les principes de ces théories.

Soient $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ des fonctions de $t\,;$ soient $x_{1}',$ $x_{2}',\,\ldots ,$ $x_{n}'$ leurs dérivées ; considérons l’intégrale

$\mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}f(x_{i},x_{i}')\,dt,$

dont la variation première $\delta \mathrm {J}$ est nulle, en regardant comme données les valeurs initiales et finales des $x_{i}.$

Pour que cette intégrale soit minimum, il faut d’abord une condition, nécessaire, mais non suffisante, que j’appellerai la condition (A).

C’est que

$f(x_{i},\,x_{i}'+\varepsilon _{i})-\sum \varepsilon _{i}{\frac {df}{dx_{i}'}},$

considéré comme fonction des $\varepsilon _{i},$ soit minimum.

La condition (A) n’est pas suffisante, à moins que les limites d’intégration ne soient très rapprochées. Sauf ce cas, il faut y joindre une autre condition que j’appellerai la condition (B). Pour l’exposer, il faut d’abord que je rappelle la définition des foyers cinétiques.

Pour que

$\delta \mathrm {J} =0,$