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CHAPITRE XXIX.

Mais, quels que soient les ${\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}$ et les $\varepsilon _{i},$ on aura

$\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}t\right)=at^{2}+2bt+c,$

$a,\,b,\,c$ étant indépendants de $t\,;$ la dérivée seconde du radical est alors égale à

${\frac {ac-b^{2}}{\left(at^{2}+2bt+c\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot$

Comme le polynôme $\mathrm {P}$ est essentiellement positif, cette expression est aussi toujours positive et la condition (A) est toujours remplie.

344.Passons au principe de Maupertuis dans le mouvement relatif. Nous avons alors à envisager l’intégrale

$\int \left[ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+\omega '(\xi \,d\eta -\eta \,d\xi )\right],$

ou, en prenant $\xi$ pour variable indépendante,

$\int d\xi \,\left[{\sqrt {(\mathrm {H} _{0}+h)(1+\eta '^{2})}}+\omega '(\xi \eta '-\eta )\right].$

Il faut donc rechercher si la dérivée seconde par rapport à $\eta '$ de

${\sqrt {(\mathrm {H} _{0}+h)(1+\eta '^{2})}}+\omega '(\xi \eta '-\eta )$

est positive ; or, cette dérivée est

${\frac {\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}{\left(1+\eta '^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot$

La condition (A) est donc toujours remplie.

Ainsi la condition (A) est remplie d’elle-même dans tous les cas que nous aurons à examiner.

Foyers maupertuisiens.

345.Les foyers cinétiques ne sont pas tout à fait les mêmes suivant qu’on envisage l’action hamiltonienne ou l’action maupertuisienne. Pour mieux nous en rendre compte, supposons deux