équations comprenant les équations (3) et Nous en tirerons et les en séries développées suivant les puissances entières et fractionnaires de
Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du deuxième genre ; si les séries sont imaginaires, il n’y en aura pas.
Je ne développerai pas la discussion.
317.Supposons maintenant que les équations
(1) |
où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme
de telle façon que l’on ait
Nous avons vu au no 64 que dans ce cas le jacobien des par rapport aux s’annule et que l’un des exposants caractéristiques est nul.
Les équations
(3) |
ne sont pas alors distinctes puisqu’on a identiquement
Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.
Mais dans ce cas, d’après les principes du Chapitre III, nous avons une double infinité de solutions périodiques de période
puisqu’il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre et à chaque valeur de la constante
Nous conviendrons de donner à la constante une valeur déterminée et nous n’aurons plus qu’une simple infinité de solutions périodiques de période
chacune d’elles correspondant à une valeur de