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CHAPITRE XXVIII.

$n+1$ équations comprenant les équations (3) et $\beta _{1}=0.$ Nous en tirerons $\tau$ et les $\beta$ en séries développées suivant les puissances entières et fractionnaires de $\lambda .$

Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du deuxième genre ; si les séries sont imaginaires, il n’y en aura pas.

Je ne développerai pas la discussion.

317.Supposons maintenant que les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme

$\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$

de telle façon que l’on ait

$\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0.$

Nous avons vu au n^o 64 que dans ce cas le jacobien des $\psi$ par rapport aux $\beta$ s’annule et que l’un des exposants caractéristiques est nul.

Les équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n}=0$

ne sont pas alors distinctes puisqu’on a identiquement

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]-\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right]=0.$

Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.

Mais dans ce cas, d’après les principes du Chapitre III, nous avons une double infinité de solutions périodiques de période $\mathrm {T}$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

puisqu’il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre $\mu =\mu _{0}+\lambda$ et à chaque valeur de la constante $\mathrm {C} .$

Nous conviendrons de donner à la constante $\mathrm {C}$ une valeur déterminée $\mathrm {C} _{0}$ et nous n’aurons plus qu’une simple infinité de solutions périodiques de période $\mathrm {T}$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

chacune d’elles correspondant à une valeur de $\lambda .$