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CHAPITRE IV.

Cas où les équations admettent des intégrales uniformes.

64.Supposons que les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

où les $\mathrm {X} _{i}$ sont des fonctions uniformes de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}$ et de $t,$ périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t,$ admettent une solution périodique de période $2\pi ,$

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

de telle sorte que $\varphi _{i}(2\pi )=\varphi _{i}(0)$ est une intégrale indépendante du temps

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})=\mathrm {const.} ,$

uniforme par rapport à $x_{1},\,x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n}.$ Je dis qu’un des exposants caractéristiques est nul, sauf dans un cas exceptionnel dont je parlerai plus loin.

Définissons, en effet, les quantités $\psi$ et $\beta$ comme au n^o 37, et envisageons le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta .$ Je dis que ce déterminant est nul.

En effet, on a identiquement

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],$

en écrivant, pour abréger, $\mathrm {F} (x_{i})$au lieu de

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).$

En différentiant cette identité par rapport à $\beta _{i},$ on trouve

(2)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}=0.$

Il faut, dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}},$ remplacer $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}$ par $\varphi _{1}(0),$ $\varphi _{2}(0),$ $\ldots ,$ $\varphi _{n}(0).$

Nous pouvons faire dans les équations (2) $i=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;$