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CHAPITRE IV.
64.Supposons que les équations
(1)
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où les
sont des fonctions uniformes de
et de
périodiques de période
par rapport à
admettent une solution
périodique de période ![{\displaystyle 2\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461d52fa6fb5a16ef8a24e871488584db5398489)
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce40373970327becb34eaea433380fb0fd934b9)
de telle sorte que
est une intégrale indépendante du temps
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a411d6b858b9e0b120bbce19a7d57644110a1d)
uniforme par rapport à
Je dis qu’un des exposants
caractéristiques est nul, sauf dans un cas exceptionnel dont je parlerai plus loin.
Définissons, en effet, les quantités
et
comme au no 37, et
envisageons le déterminant fonctionnel des
par rapport aux
Je dis que ce déterminant est nul.
En effet, on a identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d1be36bf9f1bf319e2a5352691098c25d9444a)
en écrivant, pour abréger,
au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffbe54ebba2dd04c45c7c45137d0f19051c8692)
En différentiant cette identité par rapport à
on trouve
(2)
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Il faut, dans
remplacer
par
Nous pouvons faire dans les équations (2)