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CHAPITRE III.

Il y a même plus : voici un fait que je n’ai pu démontrer rigoureusement, mais qui me parait pourtant très vraisemblable.

Étant données des équations de la forme définie dans le n^o 13 et une solution particulière quelconque de ces équations, on peut toujours trouver une solution périodique (dont la période peut, il est vrai, être très longue), telle que la différence entre les deux solutions soit aussi petite qu’on le veut, pendant un temps aussi long qu’on le veut. D’ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c’est qu’elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable.

37.Reprenons les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

en supposant que les $\mathrm {X} i$ soient des fonctions des $n$ inconnues $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ du temps $t,$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

Supposons, de plus, que ces fonctions soient périodiques par rapport à $t$ et que la période soit $2\pi .$

Imaginons que, pour $\mu =0,$ ces équations admettent une solution périodique de période $2\pi$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

de telle sorte que

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(2\pi ).$

Cherchons si les équations (1) admettront encore une solution périodique de période $2\pi$ quand $\mu$ ne sera plus nul, mais très petit.

Considérons maintenant une solution quelconque.

Soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=2\pi .$

Les $\psi _{i}$ seront, d’après le théorème du n^o 27, des fonctions holomorphes de $\mu$ et des $\beta _{i},$ et ces fonctions s’annuleront pour

$\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0.$

Pour écrire que la solution est périodique, il faut écrire les équations

(1)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$