Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/219

207

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Cas où le temps n’entre pas explicitement.

316.Supposons que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ qui figurent dans les équations (1) ne dépendent pas du temps $t.$

Dans ce cas, comme nous l’avons vu au n^o 61, l’un des exposants caractéristiques est toujours nul.

D’autre part, si

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

est une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ il en est de même de

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h)$

quelle que soit la constante $h.$

Dans le numéro précédent, nous supposions qu’il y avait, quel que soit $\mu ,$ une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

et la période ne pouvait être que $\mathrm {T} ,$ puisque les $\mathrm {X} _{i}$ étaient des fonctions périodiques de $t,$ de période $\mathrm {T} .$

La période était donc indépendante de $\mu .$

Il n’en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que, quel que soit $\mu ,$ les équations (1) admettent une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Mais la période dépendra de $\mu$ en général. J’appellerai $\mathrm {T}$ la période, et $\mathrm {T} _{0}$ la valeur de $\mathrm {T}$ pour $\mu =\mu _{0},$ c’est-à-dire pour $\lambda =0.$

Nous modifierons alors un peu la définition des quantités $\beta$ et $\psi .$

Nous désignerons toujours par $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ mais nous représenterons par $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=k(\mathrm {T} +\tau )$ (et non pour $t=k\mathrm {T}$).

Alors, les $\psi _{i}$ seront des fonctions des $n+2$ variables

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau ,\,\lambda .$

Si l’on continue à regarder les $\beta$ et $\lambda$ comme les coordonnées d’un point dans l’espace à $n+1$ dimensions, les équations

(3)

$\psi _{i}=0$

représenteront alors non plus une courbe, mais une surface