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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

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CHAPITRE III.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

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36.Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles, où les $\mathrm {X}$ sont des fonctions uniformes données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$

Soit maintenant

(2)

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

une solution particulière de ce système. Imaginons qu’à l’époque $\mathrm {T}$ les $n$ variables $x_{i}$ reprennent leurs valeurs initiales, de telle façon que l’on ait

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} )\cdot$

Il est clair qu’à cette époque $\mathrm {T}$ on se retrouvera identiquement dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0 et, par conséquent, qu’on aura, quel que soit $t,$

$\varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ).$

En d’autres termes, les fonctions $\varphi _{i}$ seront des fonctions périodiques de $t.$

On dit alors que la solution (2) est une solution périodique des équations (1).

Supposons maintenant que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent non seulement des $x_{i},$ mais du temps $t.$ J’imagine, de plus, que les $\mathrm {X} _{i}$ soient des fonctions périodiques de $t$ et que la période soit égale à $\mathrm {T} .$ Alors, si les fonctions $\varphi _{i}$ sont telles que

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),$