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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
CHAPITRE III.
SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
36.Soit
(1)
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un système d’équations différentielles, où les
sont des fonctions
uniformes données de
![{\displaystyle x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee2d0d918f9085dbdaaf812726427a039846070)
Soit maintenant
(2)
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une solution particulière de ce système. Imaginons qu’à l’époque
les
variables
reprennent leurs valeurs initiales, de telle façon
que l’on ait
![{\displaystyle \varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} )\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d516207354c304c069ed85c8bf5ae64f0b573ff9)
Il est clair qu’à cette époque
on se retrouvera identiquement
dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0 et, par conséquent,
qu’on aura, quel que soit
![{\displaystyle \varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b8302dfa43f4f626d66037ff78e056f85a461e)
En d’autres termes, les fonctions
seront des fonctions périodiques
de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
On dit alors que la solution (2) est une solution périodique
des équations (1).
Supposons maintenant que les fonctions
dépendent non seulement
des
mais du temps
J’imagine, de plus, que les
soient des fonctions périodiques de
et que la période soit égale
à
Alors, si les fonctions
sont telles que
![{\displaystyle \varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9ca8745e84f0b973d13d467825eba6dcd672e1)