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CHAPITRE XXVII.

Nous supposerons que $n_{2}$ ne s’annule pas quand $x_{1}$ reste inférieur à une certaine limite $a.$ Alors ${\frac {dy_{2}}{dt}}$ conservera toujours le même signe et l’on aura, par exemple,

${\frac {dy_{2}}{dt}}>0.$

Cette inégalité, vraie pour $\mu =0,$ le sera encore pour les petites valeurs de $\mu .$

Alors les relations

${\begin{aligned}y_{2}&=0,&|x_{1}|&<a-\varepsilon \end{aligned}}$

définiront un certain domaine plan $\mathrm {D}$ qui aura d’ailleurs la forme d’un cercle.

Les trajectoires issues d’un point de ce domaine ne seront alors jamais tangentes à un plan passant par l’axe des $z,$ du moins avant d’avoir recoupé de nouveau le demi-plan $y_{2}=0.$ Notre domaine pourra donc jouer le rôle du domaine $\mathrm {D}$ du n^o 310.

Les équations (1) admettent l’invariant intégral

$\int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2},$

d’où l’on déduit le suivant à l’aide de l’intégrale $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

$\mathrm {J} =-\int {\frac {dx_{1}\,dy_{1}\,dy_{2}}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}\cdot$

Mais ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}$ est égal à $-{\frac {dy_{2}}{dt}}$ et par conséquent négatif. L’invariant $\mathrm {J}$ est alors un invariant positif.

Les résultats des n^os 306 et 308 sont donc applicables aux courbes tracées dans le domaine $\mathrm {D} .$

Cela posé, soit $b$ une valeur de $x_{1}$ plus petite que $a-\varepsilon$ et telle que les valeurs correspondantes de $n_{1}$ et de $n_{2}$ satisfassent à la relation

$m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}=0,$

où $m_{1}$ et $m_{2}$ sont deux entiers premiers entre eux.

La courbe

$x_{1}=b,$

qui est une circonférence, sera une courbe invariante pour $\mu =0.$