La troisième hypothèse est celle qu’il convient d’adopter.
Passons à la quatrième ; pour voir si elle doit être rejetée, il faut chercher à se rendre compte de l’ordre de grandeur des distances et c’est ce que nous ferons dans les diverses applications qui vont suivre.
Enfin, la cinquième hypothèse se ramène toujours à la première, comme nous l’avons vu.
Extension des résultats précédents.
310.Nous avons fait plus haut sur les équations (1) des hypothèses très particulières ; mais toutes ne sont pas également nécessaires.
Considérons, en effet, un domaine simplement connexe et faisant partie du demi-plan et supposons que l’on sache d’une manière quelconque que, si le point se trouve à l’origine du temps en un point de ce domaine, va en croissant constamment de 0 à quand croît de 0 à de telle façon que la courbe satisfaisant aux équations (1) et passant par le point en la supposant prolongée depuis ce point jusqu’à sa nouvelle rencontre avec le demi-plan, n’est jamais tangente à un plan passant par l’axe des
Alors on pourra définir, comme au no 305, le conséquent du point et il est clair que tout ce qui précède sera encore applicable aux figures qui se trouvent à l’intérieur du domaine
Il ne sera pas nécessaire que les courbes qui satisfont aux équations (1) et qui viennent rencontrer le demi-plan en dehors de soient assujetties à ne jamais être tangentes à un plan passant par l’axe des Il ne sera pas nécessaire non plus que soit une solution des équations (1).
Alors, si est une courbe fermée intérieure à et si est sa conséquente, les deux courbes seront extérieures l’une à l’autre ou se couperont.
Les résultats du no 308 seront également applicables aux courbes invariantes qui ne sortiront pas du domaine et, si même une courbe invariante sort du domaine quand elle est
