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CHAPITRE XXVII.
306.Soit alors une courbe fermée
située dans le demi-plan
et enveloppant une aire
Soit
la conséquente
de
ce sera aussi une courbe fermée qui enveloppera
une aire
et cette aire
sera la conséquente de
Si l’intégrale (5), étendue à
et à
a pour valeur
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}=\mathrm {J} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8ad8556e3bc1a12872a15c41cadfb87e99ce59)
et il suit de là que
ne pourra être une partie de
et
une
partie de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Quatre hypothèses peuvent être faites sur la position relative
des deux courbes fermées
et
1o
est intérieur à
2o
est intérieur à
3o Les deux courbes sont extérieures l’une à l’autre ;
4o Les deux courbes se coupent.
L’équation
exclut les deux premières de ces hypothèses.
Si, pour une raison quelconque, la troisième se trouve également
exclue, on sera certain que les deux courbes se coupent.
Supposons, par exemple, que
dépendent d’un paramètre
arbitraire
et que, pour
soit sa propre conséquente ;
alors, pour les valeurs très petites de
différera très
peu de
il ne pourra donc pas arriver que les deux courbes
et
soient extérieures l’une à l’autre, et il faudra qu’elles se coupent.
Courbes invariantes.
307.J’appellerai courbe invariante toute courbe qui sera sa
propre conséquente.
Il est aisé de former des courbes invariantes ; soient, en effet,
un point quelconque du demi-plan,
son conséquent ; joignons
à
par un arc de courbe quelconque
soit
le conséquent
de
celui de
et ainsi de suite. L’ensemble des
arcs de courbe
constituera évidemment une
courbe invariante.
Mais nous serons amenés aussi à envisager des courbes invariantes
dont la génération sera plus naturelle.
Supposons que les équations (1) admettent une solution pério-