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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

5^o On peut transformer les équations (1) en les mettant sous la forme

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=\Xi ,&{\frac {d\eta }{dt}}&=\mathrm {H} ,&{\frac {d\zeta }{dt}}&=\mathrm {Z} ^{\star }.\end{aligned}}$

Je supposerai que $\mathrm {Z} ^{\star }$ reste positif pour

$|\xi |<1,\quad |\eta |<1,\quad \zeta =0.$

Les équations (1 bis) admettront l’invariant intégral

$\int {\frac {\mathrm {M} }{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ,$

et les équations

(3 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\zeta }}&={\frac {\Xi }{\mathrm {Z} ^{\star }}},&{\frac {d\eta }{d\zeta }}&={\frac {\mathrm {H} }{\mathrm {Z} ^{\star }}},&{\frac {d\zeta }{d\zeta }}&=1\end{aligned}}$

admettront l’invariant intégral

$\int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta$

Soit $\mathrm {F} _{0}$ une figure quelconque faisant partie de $\mathrm {D}$ et $\mathrm {F} ,$ sa conséquente ; supposons que les différents points de $\mathrm {F} _{0}$ et de $\mathrm {F} _{1}$ se déplacent de telle façon que $\xi$ et $\eta$ restent constants et que $\zeta$ croisse de 0 à $\varepsilon ,$ $\varepsilon$ étant très petit ; la figure $\mathrm {F} _{0}$ engendrera un volume $\Phi _{0},$ et la figure $\mathrm {F} _{1}$ engendrera un volume $\Phi _{1}\,;$ l’intégrale

$\int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta =\varepsilon \int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta$

aura même valeur pour $\Phi _{0}$ et pour $\Phi _{1}\,;$ donc l’intégrale double

$\int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta ,$

analogue à l’intégrale (5) du n^o 305, aura même valeur pour $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F} _{1}.$ Elle est d’ailleurs essentiellement positive.

Il résulte de là que les résultats du n^o 306 sont applicables aux courbes fermées $\mathrm {C} _{0}$ situées à l’intérieur de $\mathrm {D} ,$ et que ceux du n^o 308 sont applicables aux courbes invariantes $\mathrm {K} ,$ ou du moins à la portion de ces courbes qui est à l’intérieur de $\mathrm {D} .$

Même une courbe invariante sort du domaine $\mathrm {D}$ quand elle est suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.