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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

et les équations (2) admettront

$\int \mathrm {M} \,\rho \,d\rho \,d\omega \,dz.$

Considérons maintenant les équations

(3)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho }{d\omega }}&={\frac {\mathrm {R} }{\Omega }},&{\frac {dz}{d\omega }}&={\frac {\mathrm {Z} }{\Omega }},&{\frac {d\omega }{d\omega }}&=1,\end{aligned}}$

où $\omega$ est regardé comme la variable indépendante.

Elles admettront évidemment l’invariant intégral

(4)

$\int \mathrm {M} \,\Omega \rho \,d\rho \,d\omega \,dz$

(Cf. n^o 253).

Comme $\mathrm {M} ,$ $\Omega$ et $\rho$ ont été supposés plus haut essentiellement positifs, c’est un invariant intégral positif.

Soient $\mathrm {F} _{0}$ une aire quelconque située dans le demi-plan

$(y=0,\quad x>0),$

et $\mathrm {F} _{1}$ sa conséquente.

Soient $\mathrm {J} _{0}$ l’intégrale

(5)

$\int \mathrm {M} \,\Omega \rho \,d\rho \,dz$

étendue à l’aire plane $\mathrm {F} _{0},$ et $\mathrm {J} _{1}$ la même intégrale étendue à l’aire plane $\mathrm {F} _{1}.$

Soit alors $\Phi _{0}$ le volume engendré par l’aire $\mathrm {F} _{0}$ quand on la fait tourner autour de l’axe des $z$ d’un angle infiniment petit $\varepsilon ,$ l’intégrale (4) étendue à $\Phi _{0}$ sera évidemment $\mathrm {J} _{0}\varepsilon .$

Soit de même $\Phi _{1}$ le volume engendré par l’aire $\mathrm {F} _{1}$ quand on la fait tourner autour de l’axe des $z$ d’un angle $\varepsilon ,$ l’intégrale (4) étendue à $\Phi _{1}$ sera $\mathrm {J} _{1}\varepsilon .$

L’invariant intégral (4) devant avoir même valeur pour $\Phi _{0}$ et pour $\Phi _{1},$ on doit avoir

$\mathrm {J} _{0}=\mathrm {J} _{1}.$

Ainsi, l’intégrale (5) a même valeur pour une aire quelconque et sa conséquente.

C’est une nouvelle forme de la propriété fondamentale des invariants intégraux.