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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
et les équations (2) admettront
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,\rho \,d\rho \,d\omega \,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc4603279ddfc422914c66f865de708e7a058b8)
Considérons maintenant les équations
(3)
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où
est regardé comme la variable indépendante.
Elles admettront évidemment l’invariant intégral
(4)
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(Cf. no 253).
Comme
et
ont été supposés plus haut essentiellement
positifs, c’est un invariant intégral positif.
Soient
une aire quelconque située dans le demi-plan
![{\displaystyle (y=0,\quad x>0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67fdf9df2e2f77e201a0bcbfe587e77978791d9)
et
sa conséquente.
Soient
l’intégrale
(5)
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étendue à l’aire plane
et
la même intégrale étendue à l’aire
plane ![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19755ffce5cb08033e4489ba9ac587ea992e6533)
Soit alors
le volume engendré par l’aire
quand on la fait
tourner autour de l’axe des
d’un angle infiniment petit
l’intégrale (4) étendue à
sera évidemment
Soit de même
le volume engendré par l’aire
quand on la
fait tourner autour de l’axe des
d’un angle
l’intégrale (4)
étendue à
sera
L’invariant intégral (4) devant avoir même valeur pour
et
pour
on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}=\mathrm {J} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8e7d488d8d7b03f7d02d1c00e7174bb298e913)
Ainsi, l’intégrale (5) a même valeur pour une aire quelconque et sa conséquente.
C’est une nouvelle forme de la propriété fondamentale des invariants
intégraux.