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CHAPITRE IX.

$\mathrm {U} _{i}^{p}$ ne dépendant que de $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n;$ $k=0,\,1,$ $2,\,\ldots ,\,p-1).$ En égalant les valeurs moyennes, il vient

$\left[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]=-\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}\,\mathrm {K} _{k}^{p}+\left[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right]$

Les fonctions $\mathrm {U} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ sont entièrement connues ; il en est donc de même de $[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}],$ et, par conséquent, il suffit, pour annuler les $n_{i}^{p}$ de choisir les constantes $\mathrm {K} _{k}^{p}$ de façon à satisfaire aux $n$ équations linéaires

(1)

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{1}}}\mathrm {K} _{1}^{p}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{2}}}\mathrm {K} _{2}^{p}+\ldots +{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{n}}}\mathrm {K} _{n}^{p}=\left[\mathrm {U} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}\right].$

Il faut et il suffit, pour que cela soit possible, que le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ ne soit pas nul. Or il est précisément nul dans le cas de l’équation (16), c’est-à-dire dans le cas particulier dont s’est surtout occupé M. Lindstedt ; c’est ce qui explique pourquoi ce savant astronome n’a pas aperçu la possibilité de faire

$n_{i}=n_{i}^{0}.$

Ce hessien est encore nul dans le cas particulier du Problème des trois Corps défini au n^o 9, mais nous avons vu au n^o 43 qu’on peut, par un artifice simple, tourner cette difficulté.

Comparaison avec la méthode de M. Newcomb.

129.M. Newcomb, pour parvenir à des séries de même formé que celles qui nous ont occupé dans ce Chapitre, a employé la méthode de la variation des constantes arbitraires. Pour bien montrer que le résultat ne pouvait différer de celui que nous avons obtenu dans les numéros précédents, nous allons exposer cette méthode sous la forme suivante.

Reprenons l’équation aux dérivées partielles

(1)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

qui est l’équation (4) du n^o 125.