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CHAPITRE IX.
et
étant des coefficients indépendants de
et du temps
mais qui peuvent être fonctions d’un certain
nombre de constantes d’intégration ; les
sont des coefficients
dépendant de
et développés suivant les puissances de ce paramètre.
Quand je dis que les séries (2) satisfont formellement aux équations
(1), voici ce que j’entends :
Substituons dans ces équations (1) les séries (2) arrêtées au
er terme, c’est-à-dire faisons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}x_{i}^{p},\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}y_{i}^{p},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d3d41fb125ea9de44a02069e6295271e930891)
je dirai que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1),
si, après cette substitution, la différence des deux membres de
ces équations devient divisible par ![{\displaystyle \mu ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372f7ae55d10f11bd7bb1b5580dcafd3e1bdc58e)
Pour déterminer les séries (2), nous nous servirons d’un procédé
entièrement différent de celui dont M. Lindstedt a fait usage.
Cherchons donc à former une série de la forme suivante
(3)
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dont les coefficients
soient eux-mêmes des séries de la forme
suivante
![{\displaystyle \mathrm {S} _{k}=\alpha _{k,1}y_{1}+\alpha _{k,2}y_{2}+\ldots +\alpha _{k,n}y_{n}+\varphi _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2f82fd6ac9124b35b13c7101f335bcd6aa4d1b)
les
étant des coefficients constants et
étant une fonction de
périodique, de période
par rapport à ces
variables.
Nous chercherons à déterminer la série (3) de façon à satisfaire
formellement à l’équation aux dérivées partielles
(4)
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La constante du second membre (qui n’est autre chose que la
constante des forces vives) pouvant dépendre de
nous la poserons égale à
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9f8d9cbe63afcec90979489f143068d0ccea99)
Faisons dans l’équation (4)
il viendra si l’on se rappelle