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CHAPITRE IX.

$\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {A} ',$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {D} '$ étant des coefficients indépendants de $\mu$ et du temps $t,$ mais qui peuvent être fonctions d’un certain nombre de constantes d’intégration ; les $h$ sont des coefficients dépendant de $\mu$ et développés suivant les puissances de ce paramètre.

Quand je dis que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1), voici ce que j’entends :

Substituons dans ces équations (1) les séries (2) arrêtées au $p+1$^er terme, c’est-à-dire faisons

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}x_{i}^{p},\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}y_{i}^{p},\end{alignedat}}$

je dirai que les séries (2) satisfont formellement aux équations (1), si, après cette substitution, la différence des deux membres de ces équations devient divisible par $\mu ^{p}.$

Pour déterminer les séries (2), nous nous servirons d’un procédé entièrement différent de celui dont M. Lindstedt a fait usage.

Cherchons donc à former une série de la forme suivante

(3)

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}+\ldots$

dont les coefficients $\mathrm {S} _{k}$ soient eux-mêmes des séries de la forme suivante

$\mathrm {S} _{k}=\alpha _{k,1}y_{1}+\alpha _{k,2}y_{2}+\ldots +\alpha _{k,n}y_{n}+\varphi _{k},$

les $\alpha _{k,i}$ étant des coefficients constants et $\varphi _{k}$ étant une fonction de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n},$ périodique, de période $2\pi$ par rapport à ces $n$ variables.

Nous chercherons à déterminer la série (3) de façon à satisfaire formellement à l’équation aux dérivées partielles

(4)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)=\mathrm {const.}$

La constante du second membre (qui n’est autre chose que la constante des forces vives) pouvant dépendre de $\mu ,$ nous la poserons égale à

$\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\ldots$

Faisons dans l’équation (4) $\mu =0,$ il viendra si l’on se rappelle