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SOLUTIONS PERIODIQUES.
ne dépend pas seulement de il dépend encore de
nous écrirons donc
en rappelant toutefois que est développé suivant les puissances
de mais non pas suivant celles de
Cela posé, quand on augmente de on augmente
de et, comme on s’est arrangé de manière à avoir une solution
périodique de période ne doit pas changer ; on a donc
(10)
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étant développable suivant les puissances de
on peut écrire
ne dépendant que de
L’identité (10) montre alors que ne change pas quand on change en Donc
est une fonction périodique et peut se développer suivant les
sinus et les cosinus des multiples de
C.Q.F.D.
Cas où le hessien est nul.
43.Il peut y avoir difficulté dans le cas où le hessien de
est nul.
Voici comment il est permis, dans un assez grand nombre de
cas, de tourner la difficulté.
Supposons que le hessien de par rapport aux variables soit
nul, mais que l’on puisse trouver une fonction de que l’on appellera
et dont le hessien ne soit pas nul.
Nous allons transformer les équations (1) de la manière suivante.
Ces équations admettent l’intégrale des forces vives qui s’écrit
Soit la dérivée de la fonction on aura pour