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CHAPITRE XXI.

d’où

$\Lambda _{1}^{0}=\Lambda _{1}'^{0},$

c’est-à-dire celui où les deux grands axes diffèrent très peu, présente des difficultés spéciales.

Discussion des séries.

222.Reprenons les notations du n^o 220 et supposons que l’on ait déterminé la fonction $\mathrm {S}$ par les procédés de ce numéro. Le problème n’est pas encore entièrement résolu. Il faut encore former les équations

(10)

$\;\left\{{\begin{aligned}&(k>1),&{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}&=w_{k}+\theta _{k}w_{1},\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}&=\theta _{1}w_{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{dz_{i}^{0}}}&=w_{i}'+\theta _{i}'w_{1},&x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&z_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}}\,;\end{aligned}}\right.$

où les $\theta$ et les $\theta '$ seront des fonctions convenablement choisies des constantes $x_{i}^{0}$ et $z_{i}^{0}\,;$ puis résoudre ces équations pour obtenir les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $u_{i}$ en fonctions des $x_{i}^{0},$ des $z_{i}^{0},$ des $w_{i},$ des $w_{i}'\,;$ enfin remplacer les $w_{i}$ et les $w_{i}'$ par des fonctions linéaires du temps dont les coefficients seront convenablement choisis. On obtiendra ainsi les expressions des coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ $u$ en fonctions du temps.

Voyons d’abord quelle sera la forme des équations (10).

La fonction $\mathrm {S}$ ayant ses dérivées périodiques peut s’écrire

$\mathrm {S} =\beta y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+z_{1}^{0}u_{1}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {S} ',$

$\beta$ étant une constante indépendante des $y$ et des $u$ et $\mathrm {S} '$ étant périodique par rapport aux $y$ et aux $u.$ Les coefficients de $y_{k}\;(k>1)$ et de $u_{i}$ peuvent, sans que la généralité s’en trouve restreinte, être supposés égaux à $x_{k}^{0}$ et à $z_{i}^{0}\,;$ c’est là, en effet, reprendre les hypothèses (10) de la page 349.

Quant à $\beta ,$ il est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$

$\beta =\beta _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{1}+\mu \,\beta _{2}+\ldots ,$

$\beta _{0}$ est égal à $x_{1}^{0},$ et $\beta _{1}$ à la constante $h$ de l’équation (5) du n^o 220.