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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

$\varphi$ étant périodique ; je supposerai pour simplifier

(10)

${\frac {\alpha _{1}^{p}}{m_{1}}}={\frac {\alpha _{2}^{p}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{n}^{p}}{m_{n}}},$

ce qui n’est pas, comme nous le verrons bientôt, restreindre la généralité.

Nous avons

$-\left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\right]=\mathrm {C} _{p}'-\mathrm {C} _{p},$

équation analogue à la première des équations (6). Si les conditions (10) sont remplies, on aura $\mathrm {C} _{p}'=\mathrm {C} _{p}$ et en particulier $\mathrm {C} _{2}'=\mathrm {C} _{2}.$

Cela posé, revenons à la troisième équation (3) qui peut s’écrire, maintenant que nous nous sommes donné $\mathrm {C} _{2}$ et que $\mathrm {S} _{1}$ est entièrement déterminée,

(11)

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}=\Phi .$

La fonction connue $\Phi$ est périodique en $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

Soit donc

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}+\beta ),$

l’équation (11) donnera

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{2}=&{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} \sin(p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}+\beta )}{p_{1}n_{1}^{0}+p_{2}n_{2}^{0}+\ldots +p_{n}n_{n}^{0}}}\\&+\psi (m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}),\end{aligned}}$

$\psi$ étant une fonction arbitraire de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$ Cette solution deviendrait illusoire si, pour un terme quelconque de $\Phi ,$ on avait

$p_{1}n_{1}^{0}+p_{2}n_{2}^{0}+\ldots +p_{n}n_{n}^{0}=0,$

c’est-à-dire

${\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}}\cdot$

Mais cela ne peut arriver parce que

${\big [}\Phi {\big ]}=0.$

En effet, nous venons précisément de déterminer $\mathrm {S} _{1}$ de telle