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CHAPITRE XIX.

s’écrirait

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} (p_{1}n_{1}^{0}+\ldots +p_{n}n_{n}^{0})\sin(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n})$

et s’annulerait en vertu de la relation (5).

Le second terme du premier membre ne dépend, au contraire, que de $\mathrm {S} _{1}$ et est fonction seulement de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$ Tous ces termes ne contiennent donc que des sinus ou des cosinus des multiples de

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$

Introduisons une notation nouvelle :

Soit $\mathrm {U}$ une fonction quelconque dont les dérivées ${\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}$ soient des fonctions périodiques de $\mathrm {U} \,;$ on pourra la développer en une série dont tous les termes seront d’une des formes suivantes

${\begin{array}{ll}\alpha _{i}y_{i},&\alpha \cos(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}),\\&\alpha \,\sin(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}).\end{array}}$

Supprimons dans cette série tous les termes trigonométriques, sauf ceux pour lesquels

${\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}}\cdot$

L’ensemble des termes restant pourra être désigné par ${\big [}\mathrm {U} {\big ]}$ et s’appeler la valeur moyenne de $\mathrm {U} .$

On aura alors

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]&={\frac {d\left[\mathrm {U} \right]}{dy_{i}}}\,;&{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\left[\mathrm {U} \right]}{dy_{i}}}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

et, si $\mathrm {V}$ est une fonction périodique quelconque,

$\left[\left[\mathrm {V} \right]{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]=\left[\mathrm {V} \right]\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]\cdot$

Il vient donc

(6)

$\left\{{\begin{aligned}-\left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\[0.5ex]\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{k}}}\right]&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{k}}},\\[0.5ex]{\big [}\Phi {\big ]}&=-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$