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SÉRIES DE M. BOHLIN.

Envisageons les séries du n^o 127 ; elles exprimeront les $2n$ variables $x_{i}$ et $y_{i}$ en fonctions des $n$ arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

et de $n$ constantes d’intégration. Nous choisirons par exemple pour ces $n$ constantes d’intégration les quantités que nous avons appelées

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

Dans nos séries qui procèdent suivant les puissances entières de $\mu ,$ figurent en dénominateurs les petits diviseurs

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.$

Supposons maintenant que l’un de ces petits diviseurs devienne très petit ; et, par exemple, supposons que ce soit $n_{1}^{0}$ (car, si c’en était un autre, on n’aurait qu’à faire le changement de variables du n^o 202). Voyons d’abord quel est l’exposant maximum de $n_{1}^{0}$ au dénominateur de chacun des termes de nos séries.

D’après ce que nous avons vu aux n^os 201 et 211, le développement de $\mathrm {S}$ ne contient que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}$

où

$q\leqq 2p-1.$

Si nous formons ensuite les équations

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}$

on ne trouvera non plus dans la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ que des termes en ${\frac {\mu ^{q}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\,;$ mais dans la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}$ s’introduiront en outre des termes en

$\mu ^{p}\,{\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\left[\left(n_{1}^{0}\right)^{-q}\right]=-q\,\mu ^{p}\,{\frac {dn_{1}^{0}}{dx_{i}^{0}}}\left(n_{1}^{0}\right)^{-q-1},$

c’est-à-dire des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).$