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CHAPITRE XIX.

des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{2p-1}}},$

mais des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{2p-2}}},\quad \ldots .$

En résumé, le passage du cas où les méthodes du n^o 125 sont applicables à celui où elles cessent de l’être se fait de la façon suivante : quand $n_{1}^{0}$ est très petit, l’ordre de grandeur d’un terme ne dépend plus seulement de l’exposant de $\mu ,$ mais de celui de $n_{1}^{0}\,;$ si l’on suppose que $n_{1}^{0}$ est du même ordre que ${\sqrt {\mu }},$ on réunira ensemble les termes qui deviennent ainsi du même ordre et on les sommera.

202.Tous ces résultats s’étendent immédiatement au cas plus général que nous avons considéré au début du n^o 199.

Supposons d’abord que $\mathrm {F}$ dépende de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et de $y_{1}\,;$ nous aurons alors à envisager l’équation

(1)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},y_{1}\right)=\mathrm {const.}$

Pour l’intégrer nous donnerons à

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}}$

des valeurs constantes quelconques,

$x_{2}^{0},\quad \ldots ,,\quad x_{n}^{0},$

et nous aurons ainsi une équation

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\,x_{2}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0},\,y_{1}\right)=\mathrm {C} ,$

de même forme que celle dont nous nous sommes occupe dans les deux numéros précédents.

Seulement la solution $\mathrm {S} ,$ au lieu de contenir seulement une constante arbitraire $x_{1}^{0},$ en contiendra $n$ qui seront $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},\,\ldots ,$ $x_{n}^{0}.$