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CHAPITRE XIX.

Divergence des séries.

212.Les séries que nous avons obtenues dans ce Chapitre sont divergentes au même titre que celles de MM. Newcomb et Lindstedt.

Considérons en effet une des séries $\mathrm {S}$ définies au n^o 204. Cette série dépendra d’un certain nombre de constantes arbitraires.

Nous avons en premier lieu

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

Ces constantes sont liées entre elles par la relation

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}=0.$

Supposons, comme dans les n^os 205 et suivants,

$m_{1}=1,\quad m_{2}=m_{3}=\ldots =m_{n}=0\,;$

nous avons vu que cela était toujours permis ; notre relation deviendra

$-n_{1}^{0}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}=0.$

Cette équation pourra être résolue par rapport à $x_{1}^{0},$ ce qui donnera

(1)

$x_{1}^{0}=\varphi (x_{2}^{0},\,x_{3}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0}),$

de plus ces $n$ constantes sont liées à $\mathrm {C} _{0}$ par la relation

$\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,x_{3}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0})=\mathrm {C} _{0}.$

Nous avons ensuite, outre $\mathrm {C} _{0},$

$\mathrm {C} _{2},\quad \mathrm {C} _{4},\quad \mathrm {C} _{6},\quad \ldots .$

Nous avons enfin

${\begin{array}{c}\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{1}^{p},\quad \alpha _{2}^{p},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n}^{p},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{array}}$

Mais nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que ces quantités sont liées entre elles par les relations (9) et (10) du