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CHAPITRE XIX.

Comme les constantes $\alpha _{i}$ sont arbitraires, nous prendrons

(9)

$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{n}=0.$

Nous ne restreignons pas ainsi la généralité, comme nous le verrons bientôt.

Cela reviendrait d’ailleurs au même de supposer

${\frac {\alpha _{1}}{m_{1}}}={\frac {\alpha _{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{n}}{m_{n}}},$

puisque, si cette condition est remplie, l expression

$\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}y_{n}$

devient une fonction de $m_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}y_{n}$ seulement, que l’on peut faire rentrer dans $f.$

Quoi qu’il en soit, si l’on suppose les conditions (9) remplies, l’équation (8) se simplifie et s’écrit

(8 bis)

$\mathrm {A} f'^{2}=\mathrm {C} _{2}'-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.$

Supposons alors que l’on construise pour diverses valeurs de la constante $\mathrm {C} _{2}'$ des courbes en prenant pour rayon vecteur $f'+$ une constante quelconque et pour angle polaire

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n},$

on obtiendra une figure tout à fait pareille à la fig. 3.

Supposons pour fixer les idées que $\mathrm {A}$ soit positif. Alors, pour que $f'$ soit périodique, il faut qu’il reste toujours réel, c’est-à-dire que $\mathrm {C} _{2}'$ soit plus grand que le maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}.$

Dans ce cas $f',$ et par conséquent ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},$ est une fonction périodique de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}$ qui ne s’annule jamais.

Ayant ainsi déterminé $\mathrm {S} _{1},$ il s’agit maintenant de déterminer $\mathrm {S} _{2}\,;$ cette fonction doit être de la forme

$\alpha _{1}^{2}y_{1}+\alpha _{2}^{2}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}^{2}y_{n}+\varphi ,$

$\varphi$ étant périodique, et en général $\mathrm {S} _{p}$ doit être de la forme

$\alpha _{1}^{p}y_{1}+\alpha _{2}^{p}y_{p}+\ldots +\alpha _{n}^{p}y_{n}+\varphi ,$