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CHAPITRE XIX.
Comme les constantes
sont arbitraires, nous prendrons
(9)
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Nous ne restreignons pas ainsi la généralité, comme nous le
verrons bientôt.
Cela reviendrait d’ailleurs au même de supposer
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{m_{1}}}={\frac {\alpha _{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{n}}{m_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a119c2d741f7b1b9927becf952f9b5de7991dbc9)
puisque, si cette condition est remplie, l’expression
![{\displaystyle \alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ed593c8abaa25b3693592abde5465685534655)
devient une fonction de
seulement, que l’on
peut faire rentrer dans ![{\displaystyle f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb3ed2e17fa8f336dcc0fd4b3eddbfb02a50ef3)
Quoi qu’il en soit, si l’on suppose les conditions (9) remplies,
l’équation (8) se simplifie et s’écrit
(8 bis)
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Supposons alors que l’on construise pour diverses valeurs de la
constante
des courbes en prenant pour rayon vecteur
une
constante quelconque et pour angle polaire
![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70a63d5ec3ccc75dcd03873efca076e10b48130)
on obtiendra une figure tout à fait pareille à la fig. 3.
Supposons pour fixer les idées que
soit positif. Alors, pour
que
soit périodique, il faut qu’il reste toujours réel, c’est-à-dire
que
soit plus grand que le maximum de
Dans ce cas
et par conséquent
est une fonction périodique
de
qui ne s’annule jamais.
Ayant ainsi déterminé
il s’agit maintenant de déterminer
cette fonction doit être de la forme
![{\displaystyle \alpha _{1}^{2}y_{1}+\alpha _{2}^{2}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}^{2}y_{n}+\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0b23f7b6c9a088d97a367c58e30509a930fc0f)
étant périodique, et en général
doit être de la forme
![{\displaystyle \alpha _{1}^{p}y_{1}+\alpha _{2}^{p}y_{p}+\ldots +\alpha _{n}^{p}y_{n}+\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5714989d66c2782e637a2e177dc0d3b1622c5c)