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CHAPITRE XIX.

de ${\sqrt {\mu }},$ il viendra

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}'+{\sqrt {\mu }}\mathrm {S} _{1}'+\mu \,\mathrm {S} _{2}'+\ldots ,$

où

$\mathrm {S} _{p}'=\alpha _{1}'^{p}y_{1}+\alpha _{2}'^{p}y_{2}+\ldots \alpha _{n}'^{p}y_{n}+{}$ fonction périodique,

et nous aurons pu choisir les $\beta _{i}^{p}$ de telle façon que les constantes $\alpha _{i}'^{p}$ soient quelconques,

Nos hypothèses n’ont donc apporté à la généralité aucune restriction essentielle. C.Q.F.D.

Cas de la libration.

205.Qu’arrivera-t-il maintenant si $\mathrm {C} _{2}$ n’est pas plus grand que le maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ et si par conséquent $\mathrm {S} _{1}$ n’est pas toujours réel ? Dans ces cas où l’on dit qu’il y a libration, certaines difficultés se présentent que l’on peut vaincre par un artifice analogue à l’emploi que nous avons fait des fonctions elliptiques dans le n^o 199. Pour simplifier un peu l’exposition je supposerai

$m_{1}=1,\qquad m_{2}=m_{3}=\ldots =m_{n}=0.$

J’en ai le droit, car, s’il n’en était pas ainsi, je pourrais faire un changement de variables analogue au changement de variables (3) du n^o 202.

Nous ne pouvons plus nous arranger de manière que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ soient des fonctions périodiques de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}\,;$ mais nous pouvons du moins chercher à trouver une fonction $\mathrm {S}$ telle que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ soient des fonctions périodiques de

$y_{2},\quad y_{3},\quad .,\quad y_{n}.$

Alors ce que nous avons appelé ${\big [}\mathrm {U} {\big ]}$ dans le numéro précédent n’est autre chose que la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée comme fonction périodique de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

On a donc

(12)

$\left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\right]=\mathrm {const.} ,$