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CHAPITRE XIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

revient aux variables anciennes $x_{i}$ et $y_{i},$ le développement change de forme et s’écrit

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}''+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}''+\mu \,\mathrm {S} _{2}''+\ldots$

[cf. les équations (8) du n^o 200].

Soit de même

${\begin{aligned}\Theta &={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\Theta _{p},&\theta _{1}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\theta _{1}^{p}.\end{aligned}}$

Nous aurons alors

(36′)

$\mathrm {S} _{p}=\mathrm {S} _{p}''-\Theta _{p}+y_{1}\theta _{1}^{p},$

équation qui nous montre que l’on peut choisir les constantes $\mathrm {C} _{p+1}$ de telle sorte que1 les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ restent constamment finis.

D’où nous devons conclure que les conditions (29) sont remplies d’elles-mêmes.

Nous avons vu au numéro précédent que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ sont des fonctions périodiques de période $4\pi$ par rapport à $y_{1}\,;$ il n’en est pas de même ici des ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy_{i}'}}$ ni des ${\frac {d\mathrm {S} _{p}''}{dy_{i}}},$ parce que $\mathrm {F} ,$ comme je l’ai fait observer plus haut, n’est plus périodique en $y_{1}'.$ Cependant l’équation (36′) nous montre :

1^o Que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}''}{dy_{1}}}$ est périodique ;

2^o Que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}''}{dy_{2}}}$ augmente de $-4\pi \theta _{1}^{p}$ quand $y_{1}$ augmente de $4\pi .$

Considérons les équations

(37)

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},&x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}}\end{aligned}}$

qui nous donnent $x_{1}$ et $x_{2}$ en fonctions de $y_{1}$ et de $y_{2}.$ Elles ont une signification intéressante.

Reprenons, en effet, les équations (30) ; elles définissent la solution périodique qui nous a servi de point de départ. Nous avons vu que cette solution est instable.

Donc, en vertu des principes du Chapitre VII, elle donne naissance à deux séries de solutions asymptotiques, dont les équations générales peuvent être mises sous la forme

(38)

$\;{\begin{aligned}x_{1}&=\omega _{1}(t,\mathrm {A} ),&x_{2}&=\omega _{2}(t,\mathrm {A} ),&y_{1}&=\omega _{1}'(t,\mathrm {A} ),&y_{2}&=\omega _{2}'(t,\mathrm {A} )\end{aligned}}$