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CHAPITRE XVI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

en reprenant d’ailleurs les notations du n^o 167,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\cos ^{2}\theta \,{\frac {dv}{dt}}\right)&={\frac {d\Omega }{dv}},\\{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\cos ^{2}\theta \left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{r^{2}}}&={\frac {d\Omega }{dr}},\\{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)+r^{2}\sin \theta \cos \theta \left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}&={\frac {d\Omega }{d\theta }}\cdot \end{aligned}}$

Posons alors

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{r\cos \theta }},&s&=\mathrm {tang} \,\theta \end{aligned}}$

et introduisons d’autre part, comme au n^o 167, une variable auxiliaire $v_{0}$ définie par l’équation

${\frac {dv_{0}}{dt}}=u^{2}{\sqrt {c_{0}}}.$

On en déduit d’abord

(1)

${\frac {d^{2}v}{dv_{0}^{2}}}={\frac {1}{c_{0}u^{2}}}{\frac {d\Omega }{dv}},$

équation analogue à l’équation (5) du n^o 167, et l’on trouverait de même

(2)

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u=\mathrm {A} -{\frac {\mu }{c_{0}}}\cos ^{2}\theta ,$

(3)

${\frac {d^{2}s}{dv_{0}^{2}}}+s=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des combinaisons des dérivées de la fonction perturbatrice.

On pourra alors dans $\mathrm {B,\,A}$ et ${\frac {d\Omega }{dv}}$ remplacer les coordonnées des planètes par leurs valeurs approchées. Les seconds membres de nos équations (1) et (3) sont alors connus et nous pouvons calculer $v$ et $s\,;$ si nous connaissons $s$ et par conséquent $\theta ,$ le second membre de (2) sera connu à son tour et nous pourrons calculer $u.$

Opérer ainsi, ce serait rester dans l’esprit des anciennes méthodes ; mais M. Gyldén ferait, au contraire, passer, comme nous l’avons vu, dans le premier membre de (1), (2) et (3) quelques-uns des termes les plus importants du second membre et, appli-