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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

Dans le cas où $\Omega =0,$ le mouvement, devient képlérien ; la première des équations (1) s’intègre immédiatement et donne ($c$ étant une constante)

(2)

$r^{2}{\frac {dv}{dt}}={\sqrt {c}}.$

Si ensuite on prend $v$ pour variable indépendante et qu’on pose $r=-{\frac {1}{u}},$ la seconde équation (1) devient

(3)

${\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {\mu }{c}}=0,$

ce qui met immédiatement en évidence la forme elliptique de la trajectoire.

Revenons au cas général où $\Omega$ n’est pas nul. M. Gyldén s’est proposé alors d’adopter une variable indépendante telle que les équations du mouvement prennent une forme analogue à celle des équations (2) et (3).

Pour cela posons

(4)

${\frac {dv_{0}}{dt}}={\frac {\sqrt {c_{0}}}{r^{2}}},$

$c_{0}$ étant une nouvelle constante.

Si nous prenons $v_{0}$ pour variable indépendante, la première équation (1) deviendra

(5)

${\frac {d^{2}v}{dv_{0}^{2}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dv}}$

et la seconde équation (1) deviendra, en posant encore $r=-{\frac {1}{u}},$

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}\cdot$

L’analogie avec l’équation (3) sera encore plus évidente si l’on observe que, dans les calculs qui vont suivre, $v$ différera très peu de $v_{0}$ et si, faisant passer dans le second membre un terme très petit qui sera du même ordre de grandeur que $\Omega ,$ on écrit

(6)

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}+u\left[1-\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}\right].$