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CHAPITRE XV.

et (7) s’écrira

(12)

$\Delta y_{i}^{p}=\Phi +n_{i}^{p-1}\alpha _{i}.$

Alors l’équation (10) nous fera connaître $\mathrm {S} _{p+1},$ l’équation (11) nous donnera les $x_{k}^{p}\,;$ en écrivant que la valeur moyenne du second membre de (12) est nulle, nous obtiendrons $n_{i}^{p-1},$ et l’équation (12) nous donnera ensuite $y_{i}^{p}.$ Connaissant ainsi $y_{i}^{p}$ et $x_{i}^{p},$ nous aurons $\xi _{i}^{p}$ et $\eta _{i}^{p}.$

On aurait pu, pour déterminer ces quantités, se servir des équations suivantes, déduites de (2) en égalant les termes d’ordre $p$ dans les deux membres, et analogues aux équations (9) du n^o 152 :

(13)

$\Delta \xi _{i}^{p}=2\mathrm {A} _{i}\eta _{i}^{p}+n_{i}^{p-1}\eta _{i}^{1}+\Phi ,$

(14)

$\Delta \eta _{i}^{p}=-2\mathrm {A} _{i}\xi _{i}^{p}-n_{i}^{p-1}\xi _{i}^{1}+\Phi .$

On aurait vu alors, par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 153, que les $\xi _{i}^{p},\,\eta _{i}^{p}$ sont développables suivant les puissances des

$\alpha _{i}\cos w_{i},\quad \alpha _{i}\sin w_{i},$

et qu’il en est de même des $n_{i}^{p}$ (c’est-à-dire que ces quantités qui ne dépendent pas des $w_{i}$ seront développables suivant les puissances paires des $\alpha _{i}$).

Il en est d’ailleurs évidemment de même des termes périodiques de $\mathrm {S} _{p+1}$ en vertu de l’équation (10).

On sait que

$\mathrm {S} _{p+1}=\beta _{1}w_{1}+\beta _{2}w_{2}+\ldots +\beta _{n}w_{n}+\mathrm {S} _{p+1}',$

les $\beta _{k}$ étant des constantes et $\mathrm {S} _{p+1}'$ étant périodique.

Pour $\mathrm {S} _{p+1}',$ l’équation (10) et un raisonnement analogue à celui du n^o 153 nous apprennent que la condition est remplie. Quant aux $\beta _{k},$ on peut les choisir arbitrairement ; nous pouvons donc supposer que $\beta _{k}$ est développable suivant les puissances paires des $\alpha _{i}$ et divisible par $\left(\alpha _{k}\right)^{2}.$

Il est inutile de répéter ici ce raisonnement du n^o 153.

Indiquons seulement en passant ce qui se passe quand on traite l’équation (11). Cette équation nous donne la valeur de $\alpha _{k}x_{k}^{p}$ et