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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

de terme de degré 0, ni de degré 1, et que les termes du deuxième degré s’écrivent

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.$

J’écris avec des parenthèses $\left(\xi _{i}\right)^{2}$ pour le carré de $\xi _{i},$ afin de ne pas confondre avec la notation $\xi _{i}^{2}$ que nous emploierons plus loin, et où le 2 sera un indice et non un exposant.

Soient alors

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}$

nos équations différentielles.

Je suppose que l’on veuille développer les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ suivant les puissances de certaines constantes d’intégration $\alpha _{i}$ et j’écris

${\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{1}&{}+{}&\xi _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=\eta _{i}^{1}&{}+{}&\eta _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Les $\xi _{i}^{p}$ et les $\eta _{i}^{p}$ représenteront les termes du développement qui sont d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}.$ Ce devront être des fonctions périodiques par rapport à $n$ arguments

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

On devra avoir d’ailleurs

${\begin{aligned}\xi _{i}^{1}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1}&=\alpha _{i}\sin w_{i}.\end{aligned}}$

On aura, d’autre part,

$n_{k}=n_{k}^{0}+n_{k}^{1}+\ldots +n_{k}^{p}+\ldots ,$

$n_{k}$ étant développé suivant les puissances des $x_{i}^{0}$ et $n_{k}^{p}$ représentant l’ensemble des termes d’ordre $p$ par rapport aux $\alpha _{i}$ Nos équations différentielles deviennent

(2)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\xi _{i}}{dw_{\mathrm {K} }}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\eta _{i}}{dw_{\mathrm {K} }}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

D’autre part,

${\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}$