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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
de terme de degré 0, ni de degré 1, et que les termes du deuxième
degré s’écrivent
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb744b6b58c3069c33e5d256385f44ee8bf2b6c0)
J’écris avec des parenthèses
pour le carré de
afin de ne
pas confondre avec la notation
que nous emploierons plus loin,
et où le 2 sera un indice et non un exposant.
Soient alors
(1)
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nos équations différentielles.
Je suppose que l’on veuille développer les
et les
suivant
les puissances de certaines constantes d’intégration
et j’écris
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{1}&{}+{}&\xi _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=\eta _{i}^{1}&{}+{}&\eta _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d8a8dc69aae385df05c8da37ae034fa1caa32f)
Les
et les
représenteront les termes du développement qui
sont d’ordre
par rapport aux
Ce devront être des fonctions
périodiques par rapport à
arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0864e1a2f47e4cb7b8f9bd2fb0af19dcefd1e9d5)
On devra avoir d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{1}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1}&=\alpha _{i}\sin w_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbdcb618f8060aad3c35fbdeb5291a4cdad59a0b)
On aura, d’autre part,
![{\displaystyle n_{k}=n_{k}^{0}+n_{k}^{1}+\ldots +n_{k}^{p}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c200e273d0a426341271ad420ac622325470ae)
étant développé suivant les puissances des
et
représentant
l’ensemble des termes d’ordre
par rapport aux
Nos équations
différentielles deviennent
(2)
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D’autre part,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8577a0d4a7a2d792a7c9a7318d8b61fe627e09)