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CHAPITRE XIV.

CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

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151.Il ne sera peut-être pas sans intérêt de revenir sur les résultats obtenus dans les trois Chapitres précédents et d’en dégager la signification. Mon but est d’ailleurs avant tout de montrer comment on pourra calculer directement les coefficients des développements que nous avons appris à former d’une manière indirecte et dont nous avons ainsi démontré l’existence. Cette existence une fois établie, le calcul de ces coefficients peut se faire, en effet, d’une façon plus rapide, sans qu’on doive s’astreindre aux nombreux changements de variables qui nous ont été nécessaires plus haut.

Je commencerai par considérer le cas particulier des équations du n^o 134.

Dans ce n^o 134, nous avons montré que, par des procédés analogues à ceux du n^o 125 légèrement modifiés, on peut satisfaire formellement à nos équations canoniques en faisant

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ étant des fonctions périodiques de quantités que j’appellerai $w,$ sauf $y_{i}^{0}$ qui devra se réduire à $w_{i}\,;$ les $x_{i}^{0}$ sont des constantes arbitraires dont dépendent d’ailleurs les autres fonctions $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k},$ et l’on a

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

$\varpi _{i}$ étant une constante d’intégration et $n_{i}$ une constante dépendant de $\mu$ et des $x_{i}^{0}$ et développable suivant les puissances de $\mu .$

On peut, par les procédés du n^o 126, donner à ces séries une infinité de formes et cela de telle sorte que les valeurs moyennes