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CHAPITRE IX.

Diverses formes des séries.

126.L’existence des séries (8) étant ainsi démontrée, on peut se proposer de les former sans passer par l’intermédiaire de l’expression auxiliaire $\mathrm {S} .$

Mais je veux auparavant montrer qu’il est possible de satisfaire formellement aux équations (1) du numéro précédent par une infinité d’autres séries de même forme que les séries (2).

1^o La fonction $\mathrm {S}$ du numéro précédent est déterminée par l’équation (4) à une constante près seulement, ou plutôt, puisque les quantités $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ sont regardées comme des constantes, à une fonction arbitraire près de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ et $x_{n}^{0}.$

Si donc une fonction $\mathrm {S}$ satisfait à l’équation (4), il en sera de même de la fonction

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} +\mathrm {R} ,$

$\mathrm {R}$ étant une fonction de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ et $\mu ,$ développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Remplaçons alors les équations (8) par les suivantes

(8 bis)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous pourrons supposer que $\mathrm {R}$ est divisible par $\mu \,;$ on pourra alors tirer des équations (8 bis) les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sous la forme de séries (2 bis) de même forme que les séries (2).

On aura

(2 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ étant comme les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ des fonctions périodiques des $w.$

La comparaison des équations (8 bis) et des équations (8) montre qu’on obtiendra les séries (2 bis) en partant des séries (2) et en y changeant $w_{i}$ en $w_{i}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}\cdot$

2^o Plus généralement, soient

$\omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n}$