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CHAPITRE IX.
126.L’existence des séries (8) étant ainsi démontrée, on peut
se proposer de les former sans passer par l’intermédiaire de
l’expression auxiliaire
Mais je veux auparavant montrer qu’il est possible de satisfaire
formellement aux équations (1) du numéro précédent par une
infinité d’autres séries de même forme que les séries (2).
1o La fonction du numéro précédent est déterminée par
l’équation (4) à une constante près seulement, ou plutôt, puisque
les quantités sont regardées comme des constantes,
à une fonction arbitraire près de et
Si donc une fonction satisfait à l’équation (4), il en sera de
même de la fonction
étant une fonction de et développable suivant
les puissances croissantes de
Remplaçons alors les équations (8) par les suivantes
(8 bis)
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Nous pourrons supposer que est divisible par on pourra
alors tirer des équations (8 bis) les et les sous la forme de
séries (2 bis) de même forme que les séries (2).
On aura
(2 bis)
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les et les étant comme les et les
des fonctions périodiques des
La comparaison des équations (8 bis) et des équations (8)
montre qu’on obtiendra les séries (2 bis) en partant des séries (2)
et en y changeant en
2o Plus généralement, soient