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CHAPITRE VII.

Solutions asymptotiques des équations de la Dynamique.

107.Reprenons les équations (1) du n^o 13

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

et les hypothèses faites à leur sujet dans ce numéro.

Nous avons vu dans le n^o 42 que ces équations admettent des solutions périodiques et nous pouvons en conclure que, pourvu que l’un des exposants caractéristiques $\alpha$ correspondants soit réel, ces équations admettront aussi des solutions asymptotiques.

À la fin du numéro précédent, nous avons envisagé le cas où, dans les équations (1) du n^o 104, les seconds membres $\mathrm {X} _{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ mais où les exposants caractéristiques restent distincts les uns des autres pour $\mu =0.$

Dans le cas des équations qui vont maintenant nous occuper, c’est-à-dire des équations (1) du n^o 13, les seconds membres sont encore développables selon les puissances de $\mu \,;$ mais tous les exposants caractéristiques sont nuls pour $\mu =0.$

Il en résulte un grand nombre de différences importantes.

En premier lieu, les exposants caractéristiques $\alpha$ ne sont pas développables suivant les puissances de $\mu ,$ mais suivant celles de ${\sqrt {\mu }}$ (cf. n^o 74). De même les fonctions que j’ai appelées $\varphi _{i,k}$ au début du [[Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/347#par104|n^o 104]] (et qui, dans le cas particulier des équations de la Dynamique qui nous occupe ici, ne sont autres que les fonctions $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ du n^o 79), sont développables, non suivant les puissances de $\mu ,$ mais suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Alors, dans les équations (2′) du n^o 104

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i},$

le second membre $\mathrm {H} _{i}$ est développé suivant les puissances des $\eta ,$ $e^{t{\sqrt {-1}}},$ $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et de ${\sqrt {\mu }}$ (et non pas de $\mu$).

On en tirera les $\eta _{i}$ sous la forme des séries obtenues au n^o 104

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} \,{\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}\,e^{t\left(\Sigma \alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)}$

et $\mathrm {N}$ et $\mathrm {H}$ seront développés suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$