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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

ce qui montre qu’après le changement de variables les nouveaux exposants caractéristiques sont égaux aux anciens multipliés par ${\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\cdot$

Développement des exposants. — Calcul des premiers termes.

74.Reprenons les équations

(1).

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)\end{aligned}}$

du n^o 13 avec les hypothèses de ce numéro.

Posons

$n_{i}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot$

Pour $\mu =0$ les $x_{i}$ sont des constantes et on a, d’autre part,

$y_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant des constantes.

Soient $n_{1}^{0},\,n_{2}^{0},\,\ldots ,\,n_{n}^{0}$ des valeurs de $n_{i}$ telles que les quantités $n_{i}^{0}\mathrm {T}$ soient multiples de $2\pi .$ Soient $x_{i}^{0}$ des valeurs des $x_{i}$ telles que

$n_{i}=n_{i}^{0}.$

Nous avons vu aux n^os 42 et 44 que les équations (1) admettront une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ qui sera développable suivant les puissances de $\mu ,$ et qui pour $\mu =0$ se réduira à

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&y_{i}&=n_{i}^{0}t+\varpi _{i}^{0},\end{aligned}}$

les $\varpi _{i}^{0}$ étant certaines valeurs particulières des constantes $\varpi _{i}.$ Cela posé, envisageons une solution quelconque.

Soit $x_{i}^{0}+\beta _{i}$ la valeur initiale des $x_{i}$ et $\varpi _{i}$ celle de $y_{i}$ pour $t=0.$ Soit $\Delta x_{i}$ l’accroissement que subit $x_{i}$ et $n_{i}^{0}\mathrm {T} +\Delta y_{i}$ l’accroissement que subit $y_{i}$ quand $t$ passe de la valeur 0 à la valeur $\mathrm {T} .$

Voici comment on formera l’équation qui donne les exposants caractéristiques. On construira un déterminant dont les éléments seront donnés par le Tableau suivant. Dans ce Tableau, la pre-