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CHAPITRE VII.
Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. On connaît la forme de leur solution générale, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{11}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{21}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{12}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{22}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\\xi _{n}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{1n}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{2n}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{nn};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f301a5a21e05afbd9642ab2ec3fd74b85573bc2b)
les
sont des constantes d’intégration, les
des constantes fixes
qu’on appelle exposants caractéristiques, les
des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}\varphi _{11}+\eta _{2}\varphi _{21}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\eta _{1}\varphi _{12}+\eta _{2}\varphi _{22}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{n}&=\eta _{1}\varphi _{1n}+\eta _{2}\varphi _{2n}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{nn},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45df09cf7e475369179b5167bd31b6dd17eeed2e)
les équations (2) deviendront
(2′)
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où les
sont des fonctions de
et des
de même forme
que les ![{\displaystyle \Xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfab0f73e98b97823926ea1a8326662686b5bc0)
Nous pourrons d’ailleurs écrire
(2′′)
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représente l’ensemble des termes de
qui sont de
degré
par rapport aux ![{\displaystyle \eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc94fc42a3ecbad87643808e17ec9634147cf812)
Quant aux équations (3), elles deviennent
(3′)
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Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (2) et (2').
Je dis que nous devrons trouver :
fonction développée suivant les puissances de
dont les coefficients sont des fonctions périodiques de