Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 8.djvu/405

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

AB (Pl. conic. fig. 27. n. 2.) en deux parties égales au point C, ce point est appellé le centre de l’hyperbole. Voyez Axe & Centre.

La ligne droite DE menée par le sommet A de l’hyperbole, parallelement à l’ordonnée, Mm (figure 20.) est tangente à la courbe au point A. Voyez Tangente.

Si l’on mene, par le sommet A d’une hyperbole, une ligne droite DE, parallele aux ordonnées Mm, & égale à l’axe conjugué, c’est-à-dire dont les parties DA & DE soient égales au demi axe conjugué, & qu’on tire du centre C par D & E les lignes CF & CG, ces lignes seront les asymptotes de l’hyperbole. Voyez Asymptote.

Le quarré double du triangle rectangle CIA, c’est-à-dire, le quarré dont le côté seroit CI ou IA, est appellé la puissance de l’hyperbole Voyez Puissance.

Propriétés de l’hyperbole Dans l’hyperbole, les quarrés des demi-ordonnées sont l’une à l’autre comme les rectangles de l’abscisse, par une ligne droite composée de l’abscisse & de l’axe transverse ; d’où il suit qu’à mesure que les abscisses x augmentent, les rectangles ax + x2, & par conséquent les quarrés des demi-ordonnées y2, & les demi-ordonnées elles-mêmes augmentent à proportion : l’hyperbole s’éloigne donc continuellement de son axe.

2o. Le quarré de l’axe conjugué, est au quarré de l’axe tranverse, comme le parametre est au même axe transverse ; d’où il suit que, puisque , le quarré de l’axe conjugué est au quarré du transverse, comme le quarré de la demi-ordonnée est au rectangle de l’abscisse, par une ligne composée de l’abscisse & de l’axe transverse.

3o. Décrire une hyperbole par un mouvement continu : plantez aux deux points F & Z (fig. 28.) qu’on appelle foyers, deux clous ou deux épingles, & attachez au point F un fil FOC, & l’autre extrémité C de ce fil à la regle CZ, en observant que le fil CF soit moindre que la longueur de la regle CZ ; ensuite fixant un stile O au fil, faites mouvoir la regle autour de Z, ce stile tracera une hyperbole. Sans avoir recours à cette description, on peut trouver autant de points que l’en voudra de l’hyperbole, & il ne s’agira plus que de les joindre. Par exemple, du foyer Z, avec un intervalle Zm plus grand que la ligne AB, laquelle on suppose être l’axe transverse de l’hyperbole, décrivez un arc, & faires Zb = AB : avec l’intervalle restant bm, décrivez du point F un autre arc qui coupe le premier au point m, & comme Zm-Fm=AB, il s’ensuit que m est un des points de l’hyperbole, & ainsi du reste.

4o. Si l’on prolonge la demi ordonnée PM (fig. 20.) d’une hyperbole, jusqu’à ce qu’elle rencontre l’asymptote en R, la différence des quarrés de PM & PR, sera égale au quarré du demi-axe conjugué Cd, d’où il suit qu’à mesure que la demi-ordonnée PM augmente, la ligne droite MR diminue, & l’hyperbole s’approche toujours de plus en plus de l’asymptote, sans pouvoir jamais la rencontrer ; car, comme , il est impossible que deviennent jamais = 0.

5o. Dans une hyperbole le rectangle de MR & de Mr est égal à la différence des quarrés PR2 & PM2, d’où il suit que le même rectangle est égal au quarré du demi-axe conjugué Cd, & que tous les rectangles, formés de la même maniere, sont égaux.

6o. Lorsque QM est pararallele à l’asymptote CG, le rectangle de QM par CQ, est égal à la puissance de l’hyperbole ; d’où il suit 1o. qu’en faisant CI = AI = a, CQ = x, & QM = y, on aura a2=xy, qui est l’équation de l’hyperbole rapportée

à ses asymptote. 2o. Que les asymptotes étant données de position, aussi bien que le côté de la puissance CI ou AI, si l’on prend sur l’une des asymptotes tel nombre d’abscisses qu’on voudra, on aura autant de demi-ordonnées, & par leur moyen autant de points de l’hyperbole qu’on voudra, en trouvant des troisiemes proportionnelles aux abscisses, & au côté de la puissance CI. 3o. Si l’on ne prend point les abscisses du centre C, mais de quelqu’autre point L, & que l’on suppose CL = b, on aura Cq= b + x, & par conséquent a2 = by + xy.

7o. Dans l’hyperbole, l’axe transverse est au parametre comme la somme de la moitié de l’axe transverse & de l’abscisse est à la sousnormale ; & la somme du demi-axe transverse & de l’abscisse, est à l’abscisse, comme la somme de l’axe transverse entier & de l’abscisse à la sous-tangente. Voyez Sous-normale, & Sous-tangente.

8o. Si l’on tire au dedans des asymptotes d’une hyperbole, & d’un de ses points m (figure 29.) deux lignes droites Hm & mK, deux autres LN & NO paralleles aux précédens ; on aura .

9o. Si l’on tire une ligne droite HK, de telle maniere qu’on voudra, entre les asymptotes d’une hyperbole, les segmens HE & mK compris de chaque côté entre l’hyperbole & ses asymptotes, seront égaux. Il suit de là, si Em = 0, que la ligne droite HK sera tangente à l’hyperbole ; par conséquent la tangente FD, comprise entre les asymptotes, est coupée en deux au point d’attouchement V. Enfin, le rectangle des segmens Hm & mK paralleles à la tangente DF, est égal au quarré de la moitié de la tangente DV.

10°. Si par le centre C (fig. 30.) on tire une ligne droite quelconque CA, & par le point A une tangente EAD terminée aux asymptotes (on appelle la ligne CA demi-diametre transverse), & une ligne égale & parallele à EAD, menée par le centre C, est nommée diametre conjugué. Or le quarré de la demi ordonnée PM, parallele au diametre conjugué, est au rectangle de l’abscisse par la somme du diametre transverse quelconque AB, & de l’abscisse AP, comme le quarré de la moitié du diametre conjugué AD est au quarré de la moitié du diametre transverse CA. D’où il suit qu’en supposant AP = x, PM = y, AB = a, DE = c, on aura  ; & faisant 4c2 : a = b ; on aura y2 = bx + bx2 : a. Ainsi la propriété des ordonnées de l’hyperbole par rapport à son axe, a lieu de la même maniere par rapport à ses diametres.

11°. Si l’on tire d’un point quelconque A & d’un autre point quelconque de l’hyperbole M (fig. 20.) les lignes AI, MQ paralleles à l’asymptote CG : le rectangle de MQ par CQ sera égal au rectangle de CI par IA. Donc si QC = x, QM = y, CI = a, IA = b : l’équation qui exprime la nature de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes, sera xy = ab.

12°. Si l’on prend une des asymptotes, qu’on la divise en parties égales, & que par chaque point de toutes ces divisions qui forment autant d’abscisses qui augmentent sans cesse également, on mene des ordonnées à la courbe parallelement à l’autre asymptote : les abscisses représenteront une suite infinie de nombres naturels, & les espaces hyperboliques ou asymptotiques correspondans, la suite des logarithmes des mêmes nombres. Voyez Logarithme & Logarithmique.

Il suit delà que différentes hyperboles donneront différentes suites de logarithmes aux mêmes nom-