. En voilà plus qu’il n’en faut pour mettre le lecteur sur la voie. On peut remarquer ici en passant que le cercle est une espece d’ellipse dans laquelle les foyers coïncident avec le centre.
Pour trouver les tangentes de l’ellipse, rien n’est plus simple & plus commode que d’employer la méthode du calcul différentiel ; on a ; donc ; donc la soûtangente . Voyez les articles Soûtangente & Tangente. A l’égard de la soûperpendiculaire ou soûnormale, elle est ou . En voilà assez pour démontrer les propositions énoncées ci-dessus au sujet des tangentes de l’ellipse.
Nous avons déjà vû au mot Conique, & nous prouverons encore au mot Quadrature, que la quadrature de l’ellipse dépend de celle du cercle, puisque l’ellipse est au cercle circonscrit en raison du petit axe au grand. A l’égard de la rectification de l’ellipse, c’est un problème d’un genre supérieur à celui de la quadrature du cercle, ou du moins tout-à-fait indépendant de cette quadrature. Voyez Rectification ; voyez aussi dans les mémoires que j’ai donnés à l’académie de Berlin pour l’année 1746, & dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, les différentielles qui se rapportent à la rectification de l’ellipse.
Au lieu de rapporter l’ellipse à des coordonnées rectangles ou à des ordonnées paralleles, on peut considérer son équation par rapport à l’angle que font avec l’axe les lignes menées du foyer. Cette considération est utile dans l’Astronomie, parce que les planetes, comme l’on sait, décrivent des ellipses dont le soleil est le foyer. Or si on nomme a la moitié du grand axe d’une ellipse, f la distance du foyer au centre, q le cosinus de l’angle qu’une ligne menée du foyer à l’ellipse, fait avec l’axe, r la longueur de cette ligne ; on aura , si on rapporte l’équation au foyer le plus éloigné, & , si on la rapporte au foyer le plus proche. De-là on peut tirer la solution de plusieurs problèmes astronomiques, comme de décrire une ellipse dans laquelle trois distances au foyer sont données, &c. Voyez les mémoires de l’académ. de Berlin pour l’année 1747, & plusieurs autres ouvrages d’Astronomie.
Mais la maniere la plus générale de considérer l’ellipse en Géométrie, est de la considérer par l’équation aux ordonnées paralleles. Nous allons entrer dans quelques considérations sur ce sujet, qui pourront être utiles aux commençans, peut-être même aux géometres plus avancés.
L’équation d’une ellipse rapportée aux axes, les coordonnées étant prises au centre, est , k exprimant un quarré ou rectangle connu, & g un nombre constant & connu ; cela résulte de ce qu’on a vû ci-dessus. Transformons les axes de cette courbe, de maniere qu’ils ne soient plus rectangles, si on veut, mais qu’ils ayent la même origine, & servons-nous pour cela des regles expliquées aux articles Courbe & Transformation, on verra qu’en supposant un des axes dans une position quelconque, il sera possible de donner une telle position à l’autre, que l’équation transformée soit de cette forme , m & n marquant aussi des constantes déterminées. En effet supposons que l’angle des premiers axes soit droit, que E soit l’angle du nouvel axe avec l’un des axes primitifs,
, cosinus , on aura sinus , cosin. ; soit sinus , & cosinus , on trouvera , & . Or (Voyez Sinus) . Substituant ces valeurs, & chassant x & y, on aura une équation en z & en u, qui sera la transformée de l’équation ; & supposant dans cette transformée que les termes où se trouve uz se détruisent, on aura la valeur de f en e convenable pour cela, & l’équation . Cela posé,
Il est visible que pour chaque z, u a toûjours deux valeurs égales, l’une positive, l’autre négative ; que lorsque , on a u=0 dans chacune de ces deux valeurs, & qu’ainsi la tangente à l’extrémité d’un des deux axes est parallele à l’autre axe, & réciproquement ; car la tangente est une ordonnée qui coupe la courbe en deux points coïncidens. Voyez Tangente & Courbe. On verra de plus que f=0 rend e=0 ; que f=1 rend e=1, 1 représentant le sinus total, que f=−1 rend e=−1, & qu’ainsi il n’y a que deux axes dans l’ellipse qui se coupent à angles droits ; mais que f=±r, r étant moindre que 1, donne deux valeurs de e aussi égales entr’elles, & qu’ainsi il y a toûjours deux diametres différens qui sont avec leur conjugué le même angle, si cet angle est moindre qu’un droit. On peut aussi déduire des valeurs de f en e, & de celles de m & n, que le rectangle des deux axes est égal au parallélogramme formé sur deux diametres conjugués, & que le quarré des deux axes est égal au quarré des deux diametres. Mais ces propositions peuvent encore se démontrer de la maniere suivante, qui est bien plus simple.
Pour démontrer que les parallélogrammes formés autour des deux diametres conjugués sont égaux, imaginez un diametre infiniment proche d’un des conjugués, & ensuite imaginez le conjugué à ce diametre infiniment proche. Achevez les deux parallélogrammes, ou plûtôt le quart de ces parallélogrammes, vous verrez à l’instant, & pour ainsi dire à l’œil, par le parallélisme des tangentes aux diametres conjugués, que ces deux parallélogrammes infiniment proches sont égaux ; leur différence, s’il y en avoit, ne pouvant être qu’infiniment petite du second ordre par rapport à eux. Donc, &c.
Pour démontrer maintenant que la somme des quarrés des diametres conjugués est constante, conservez la même figure, appellez a un des demi-diametres, b son conjugué, a+da, le demi-diametre infiniment proche de a, b−db le demi-diametre conjugué ; il faut donc prouver que (voyez Différentiel) ou que . Or traçant du centre de l’ellipse & des rayons a, b, deux petits arcs de cercle x, z, on verra d’abord évidemment que les deux quarts d’ellipse renfermés entre les demi-diametres conjugués, sont égaux, & qu’ainsi . Or x est à da & z est à db, comme le sinus de l’angle des diametres est au cosinus du même angle ; donc ; donc puisque , on aura .
On objectera peut-être que ces deux démonstrations sont tirées de la considération des quantités infiniment petites, c’est-à-dire d’une géométrie transcendante supérieure à celle des sections coniques. Je
